辽宁省鞍山市2018-2019学年八年级数学上册期末检测考试题(3)

∠AFE=∠CBE+∠ABE=∠ABC，即∠AFE=60°．

【解答】解：（1）AD=BE，

理由是：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°，

在△ABD和△BCE，

，

∴△ABD≌△BCE（SAS）

∴AD=BE．

（2）∵△ABD≌△BCE，

∴∠BAD=∠CBE，

又∵∠AFE=∠BAD+∠ABE，

∴∠AFE=∠CBE+∠ABE=∠ABC，

∴∠AFE=60°．

【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等边三角形的性质，解决本题的关键是证明△ABD≌△BCE．

22．观察下列式子：（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1

（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1

（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1

（x5﹣1）÷（x﹣1）=x4+x3+x2+x+1

（1）根据以上式子，请直接写出（x n﹣1）÷（x﹣1）的结果（n为正整数）；

（2）计算：1+2+22+23+24+ (22018)

【考点】整式的除法．

【专题】规律型．

【分析】（1）根据观察，可发现规律，根据规律，可得答案；

（2）根据规律，可得答案．

【解答】解：（1）原式=x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1

（2）∵（2﹣1）=22018﹣1

∴1+2+22+23+24+…+22018=22018﹣1．

【点评】本题考查了整式的除法，发现规律：（x n﹣1）÷（x﹣1）=x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1是解题关键．

四、解答题：（本题共20分）

23．元旦晚会上，王老师要为她的学生及班级的六位科任老师送上贺年卡，网上购买贺年卡的优惠条件是：购买50或50张以上享受团购价．王老师发现：零售价与团购价的比是5：4，王老师计算了一下，按计划购买贺年卡只能享受零售价，如果比原计划多购买6张贺年卡就能享受团购价，这样她正好花了100元，而且比原计划还节约10元钱；

（1）你知道王老师的班级有多少名学生吗？

（2）探索一下，购买贺年卡的张数在什么范围内，采用王老师的办法是合算的．

【考点】分式方程的应用．

【分析】（1）首先设零售价为5x元，团购价为4x元，由题意可得等量关系：零售价用110元所购买的数量+6=团购价用100元所购买的数量，根据等量关系列出方程，计算出x的值，然后再求学生数；

（2）设购买贺年卡的张数为a，利根据零售价×购买贺年卡的张数≥50×团购价列出不等式，再解即可．

【解答】解：（1）设零售价为5x元，团购价为4x元，

则+6=，

解得：x=0.5，

经检验：x=0.5是原分式方程的解，

学生数为﹣6=38（人），

答：王老师的班级里有38名学生．

（2）设购买贺年卡的张数为a，

5×0.5a≥50×0.5×4，

a≥40，

∴当40≤a＜50，采用王老师的办法合算．

【点评】此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程，注意分式方程必须检验．

24．如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，∠BAE=45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD=CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；

（1）求证：AD=BE；

（2）试说明AD平分∠BAE；

（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE．（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，得到

∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE；

（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP=∠ACF，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE．

【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°，

∴∠CBA=∠CAB，

∴BC=CA，

在△BCE和△ACD中，

∴△BCE≌△ACD，

∴AD=BE．

（2）∵△BCE≌△ACD，

∴∠EBC=∠DAC，

∵∠BDP=∠ADC，

∴∠BPD=∠DCA=90°，

∵AB=AE，

∴AD平分∠BAE．

（3）AD⊥BE不发生变化．

如图2，

∵△BCE≌△ACD，

∴∠EBC=∠DAC，

∵∠BFP=∠ACF，

∴∠BPF=∠ACF=90°，

∴AD⊥BE．

【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD．

2018年2月26日