第八章 变形及刚度计算(改)

第八章 变形及刚度计算

第八章

变形及刚度计算主讲教师：余茜

第二章 轴向拉伸和压缩

§8 — 1 目 录 §8 — 2 §8 — 3 §8 — 4

轴向拉伸杆的变形 圆轴扭转时的变形和刚度计算 梁的变形及刚度计算 简单超静定问题

§ 8-1 轴向拉压杆的变形

§ 8-1 轴向拉压杆的变形

一、轴向拉压的变形分析轴向拉伸： 纵向伸长、横向缩短 纵向伸长量： Δl 横向缩短量：Δd

Fd

Fd1l

l1 l > 0

l1

d1 d < 0

轴向压缩： 纵向缩短、横向伸长

F

Fd

d1 l1l

纵向缩短量： Δl 横向伸长量：Δd

l 1 l <0 d 1 d >0

注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不 一的杆件，因此引入应变的概念。

§ 8-1 轴向拉压杆的变形

二、线应变线应变：将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长， 称之为线应变。1、纵(轴)向变形量： FΔl l 1 l

Fd

d1l

轴向线应变：

ε

Δl l

l1

2、横向变形量：Δd d 1 d

Fd

Fd1 l1l

横向线应变：ε

Δd d

3、线应变的符号约定： 与变形量的正负号一致，即拉应变为正，压应变为负。

§ 8-1 轴向拉压杆的变形

轴向线应变： 由胡克定律

ε

Δl l

σ Eεσ E l

且FN EA l

FN A

σ

Δl εl

Δl

FN l EA

上式表明，在线弹性范围内轴向拉、压杆件的 伸长或缩短量 l ,与轴力 FN和杆长 l 成正比,与EA 成反比。 EA——抗拉(压)刚度

§ 8-1 轴向拉压杆的变形Δl FN l EA

E——弹性模量 EA——抗拉(压)刚度

l 表示长为 l的杆件在轴力 FN的作用下的伸长量或缩短量 条件：杆件在 l长范围内EA和FN均为常数。F N x) N ( (x)

当EA和FN在杆长范围内为位置的函数时Δ(dx) x

F N (x)dx EA(x)

ΔL dx

Δ(dx) ln

FN (x)dx EA(x)

l

+ + –

当EA和FN在杆长范围内分段为常数时

FN图

ΔL

EA i 1

FN i l ii

§ 8-1 轴向拉压杆的变形

三、泊松比h1

纵向线应变：εb

Δl l

Fhlb1

F

横向线应变：ε h1 h h b1 b b Δb b Δh h

l1

当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受 压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。

实验表明，对于同一种线弹性材料，存在如下关系：

ε με

——负号表示纵向与横 向变形的方向总是相反

——称为泊松比，量纲为一

§ 8-1 轴向拉压杆的变形例 已知杆的长度、截面面5

积，受力如图。 材料的 。

弹性模量 E 2 . 1 10A 1 250mm2

MPa 。 求杆的总变形2

A 2 200mm30kN E 20kN

解：用直接法画轴力图 分析：多力作用下， 整个杆长范围内轴力 分段为常数，只能分 段求变形，再求和。

50kN

A B C D 1m 2m 1m 3m 10KN +

– – 20KN

又因为BD段内虽然轴力 为常数，但截面面积又分两 段，所以要分4段求变形。ΔLAE

ΔL

i

ΔL

AB

ΔL

BC

40KN

FN图

ΔL

CD

ΔL

DE

FN l EA

§ 8-1 轴向拉压杆的变形例 已知杆的长度、截面面5

积，受力如图。 材料的 。

弹性模量 E 2 . 1 10A 1 250mm2

MPa 。 求杆的总变形2

A 2 200mm30kNEΔL

解：用直接法画轴力图AE

50kN

20kN

ΔL

ΔL

i

ΔL

AB

ΔL

BC

A B C D 1m 2m 1m 3m 10KN + – 40KN – 20KN

ΔL

CD

ΔL3

DE

3

FN l EA

40 10

1 105

AB

2.1 10 10 103

2503

0.762mm

ΔL

BC

2 105

2.1 1010 103

2503

0.381mm

FN图

ΔL CD

1 105

2.1 10

200

0.238mm

§ 8-1 轴向拉压杆的变形例 已知杆的长度、截面面5

积，受力如图。 材料的 。

弹性模量 E 2 . 1 10A 1 250mm2

MPa 。 求杆的总变形2

A 2 200mm30kNEΔL

解：用直接法画轴力图AE

50kN

20kN

ΔL

ΔL

i

ΔL

AB

ΔL

BC

A B C D 1m 2m 1m 3m 10KN + – 40KN – 20KN

ΔL

CD

ΔL3

DE

3

FN l EA

20 10

3 105

DE

2.1 10

200

1.429mm

ΔL

AE

0.762

0.381 0.238

1.429

1.572mm

FN图

即杆被压短了1.572mm

§ 8-1 轴向拉压杆的变形例 等直杆容重为

,抗拉刚度 EA ,长 l 。求自重作用ql Al G

下的伸长量。y

F N (y) dFdy

N

(y)

F N (y) qyqL

1

1EA

qyF N (y) qy

a

b

c

解： 把自重简化为沿着轴线均匀分布的线荷载，集度q=γ A 任意取一个截面1-1,画受力图。轴力 F N (y) qy 在1-1截面处取出一微段dy作为研究对象，受力如图。 由于取的是微段，dFN(y)可以忽略，认为在微段dy上轴 力均匀分布(常数)

§ 8-1 轴向拉压杆的变形例 等直杆容重为

,抗拉刚度 EA ,长 l 。求自重作用

下的伸长量。y

F N (y) dF

N

(y)

F N (y) qyqL

1

1qy EAF N (y) qy

dy

a d ΔL ΔL

c

F N (y)dy EAF N (y)dy EAL

d L L L

qydy EA

qL

2

γAL 2EA

2

0

2EA

ΔL

γAL 2EA

2

γAL L 2EA

GL 2EA

§ 8-1 轴向拉压杆的变形y

F N (y) dF

N

(y)

F N (y) qyqL

1

1qy EAF N (y) qy

dyL

EA

a ΔL γAL 2EA2

c GL 2EA

G

γAL L 2EA

令取一根相同的杆件，把它的自重作为一个集中力作 用在自由端，此时杆件的伸长量为ΔL GL EA ΔL 1 2 ΔL

结论：等直杆由自重引起的变形量等于把自重当作集 中力作用在杆端所引起的变形量的一半。

§8—2

圆杆扭转时的变形和刚度计算

一、扭转变

形——扭转角 扭率：θ MT GI p

单位长度扭转角(扭率)描述 了扭转变形的剧烈程度

GI p

——抗扭刚度l

扭转角：

θdx l

MT GIp

dx

单位：rad

0

§8—2

圆杆扭转时的变形和刚度计算

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