新课程高中解析几何求轨迹方程的常用方法(2)

－1，|MP|

12

|AB|这些等量关系。。

用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角

度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 【变式3】过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。

解法一：“几何法”

设点M的坐标为（x,y）,因为点M 是弦BC的中点，所以OM⊥BC,

２２ ２2 22 2

所以|OM | ＋|ＭＡ|＝|ＯＡ| ， 即(x+y)+(x －４)+y=16 化简得：（x－2）2+ y2 =4................................①

由方程 ① 与方程x +y= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为 （x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心， 2为半径的圆在圆O内的部分。 解法二：“参数法”

设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k(x－4), 由直线与圆的方程得（1+k）x －8kx +16k－4=0...........(*), 由点M为BC的中点，所以x=

yx

2

2

2

2

2

2

x1 x2

2

4k

22

1 k

...............(1) , 又OM⊥BC，所以

k=.................(2)由方程（1）（2）

13

消去k得（x－2）2+ y2 =4,又由方程（*）的△≥0得k2 ≤

2

2

,所以x＜1.

所以点M的轨迹方程为（x－2）+ y =4 （0≤x＜1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心， 2为半径的圆在圆O内的部分。

四：用代入法等其它方法求轨迹方程 例4. 点B是椭圆轨迹方程。

分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。

【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0） 则由M为线段AB中点，可得 x0 2a

x x0 2x 2a 2

y 0y 2y 0 0

y

2

xa

22

yb

22

1上的动点，A(2a，0)为定点，求线段AB的中点M的

即点B坐标可表为（2x－2a，2y） 又 点B(x0，y

2

2

)在椭圆

xa

22

yb

22

1上

x0a

2

y0b

2

1从而有

(2x 2a)

a

2

2

(2y)b

2

2

2

1，

整理，得动点M的轨迹方程为

4(x a)

a

2

4yb

2

2

1

【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系

【变式4】如图所示，已知P(4，0)是圆x+y=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q

【解析】： 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP22

中，|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

又|AR|=|PR|=(x 4)2 y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在

所求的轨迹上运动

设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=代入方程x2+y2－4x－10=0,得

(x 42

) (

x 42

,y1

y 02

,

2

y2

) 4

2

2

x 42

－10=0

整理得x+y=56, 五、用交轨法求轨迹方程

2

xa

22

yb

22

1

六、用点差法求轨迹方程

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为M x1，y1 ，N x2，y2 ，线段MN的中点R x，y ，则 x12 2y12 2， 2

2

x2 2y2 2，

x1 x2 2x， y y 2y，

2 1

①②③④

①－②得 x1 x2 x1 x2 2 y1 y2 y1 y2 0．

由题意知x1 x2，则上式两端同除以x1 x2，有

x1 x2 2 y1 y2

y1 y2x1 x2y1 y2x1 x2

0， 0．⑤

将③④代入得x 2y

（1）将x

12

，y

12

代入⑤，得

y1 y2x1 x2

2

12

，故所求直线方程为： 2x 4y 3 0． ⑥

14

14

22

将⑥代入椭圆方程x 2y 2得6y 6y

0， 36 4 6 0符合题意，

2x 4y 3 0为所求．

（2）将

y1 y2x1 x2y1 y2x1 x2

（椭圆内部分） 2代入⑤得所求轨迹方程为： x 4y 0．

（3）将

y 1x 2

代入⑤得所求轨迹方程为： x2 2y2 2x 2y 0．（椭圆内部分）

练习1【正确解答】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点(5,0).( 5,0)，

x

2

即轨迹方程为

25

y

2

16

1(x 5)

2.两条直线x my 1 0与mx y 1 0的交点的轨迹方程是. 【解答】:直接消去参数m即得(交轨法):x2 y2 x y 0

3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 .

【解答】:令M点的坐标为(x,y),则A的坐标为(2x,2y),代入圆的方程里面得:(x

12) y

2

2

14

(x 0)

22

4:当参数m随意变化时，则抛物线y x 2m 1 x m 1的顶点的轨迹方程为

【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，

1 便可得到动点的轨迹方程。【解答】：抛物线方程可化为 x m

2

12

54

2

5

y m

4

它的顶点坐标为x m

34

，y m

消去参数m得：y x

故所求动点的轨迹方程为4x 4y 3 0。

5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线x 5 0的距离小1，则点M的轨迹方程为 【分析】：点M到点F（4，0）的距离比它到直线x 5 0的距离小1，意味着点M到

点F（4，0）的距离与它到直线x 4 0的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。

【解答】：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线x 4的距离相等。则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、x 4为准线的抛物线。故所求轨迹方程为y 16x。

2

6:求与两定点O O1，0 、A 3，0 距离的比为1：2的点的轨迹方程为_________

POPA

12

【分析】:设动点为P，由题意关系式。

，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量

【解答】：设P x，y 是所求轨迹上一点，依题意得

POPA

12

由两点间距离公式得：

x y

22

x 3

化简得：x2 y2 2x 3 0

2

2

12

y

7抛物线y2 4x的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。

【分析】：抛物线y2 4x的焦点为F 1，0 。设△ABC重心P的坐标为(x，y)，点C的坐标为(x1，y1)。其中x1 1

x1 23

y13

【解答】：因点P x，y 是重心，则由分点坐 …… 此处隐藏：1792字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……