新课程高中解析几何求轨迹方程的常用方法

新课程高中解析几何求轨迹方程的常用方法

（一）求轨迹方程的一般方法：

1. 定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t）， y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程

例1：已知 ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足

sinB sinA

54

sinC,求点C的轨迹。

【变式】：已知圆

的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与

这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。

二：用直译法求轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。

例2：一条线段两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，且BM=a，AM=b，求AB中点M的轨迹方程？

【变式】: 动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即求动点P的轨迹方程？

三：用参数法求轨迹方程

|PA||PB|

， 2）

此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。

例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，

求线段AB的中点M的轨迹方程。

四：用代入法求轨迹方程 例4. 点B是椭圆轨迹方程。

【变式】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q

xa

22

yb

22

1上的动点，A(2a，0)为定点，求线段AB的中点M的

五、用交轨法求轨迹方程 例5.已知椭圆

xa

22

yb

22

1（a＞b＞o）的两个顶点为A1( a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直

线交椭圆于P1、P2，求A1P1与A2P2交点M的轨迹方程.

六、用点差法求轨迹方程 例6. 已知椭圆

x

2

2

y 1，

2

（1）求过点P 且被P平分的弦所在直线的方程；

22

11

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过A 2，1 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

练习

1.在 ABC中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方 程是_______________________________.

2.两条直线x my 1 0与mx y 1 0的交点的轨迹方程是. 3.已知圆的方程为(x-1)+y=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是4.当参数m随意变化时，则抛物线y x2 2m 1 x m2 1的顶点的轨迹方程为______。 5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线x 5 0的距离小1，则点M的轨迹方程为________。 6:求与两定点O O1，0 、A 3，0 距离的比为1：2的点的轨迹方程为_____________ 7.抛物线y2 4x的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。

8.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。

9.过原点作直线l和抛物线y x 4x 6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

2

22

高二（上）求轨迹方程的常用方法 答案

例1：已知 ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足

sinB sinA

54

sinC,求点C的轨迹。

54

2'2

【解析】由sinB sinA

xa

sinC,可知b a

54

c 10，即|AC| |BC| 10，满足椭

圆的定义。令椭圆方程为

yb

2'2

1，则a 5,c 4 b 3，则轨迹方程为

'''

x

2

25

y

2

9

。 1（x 5)，图形为椭圆（不含左，右顶点）

【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 （1） 圆：到定点的距离等于定长

（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）

（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （4） 到定点与定直线距离相等。

【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1，圆圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。 解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：

。

∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。

，

的圆心为M2，一动

。

故所求轨迹方程为

2

2

2

2

2:一动圆与圆O：x y 1外切，而与圆C：x y 6x 8 0内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：

A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支 【解答】令动圆半径为R，则有 二：用直译法求曲线轨迹方程

此类问题重在寻找数量关系。

例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？

解 设M点的坐标为(x,y) 由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=

12AB

12

2a a,

|MO| R 1 |MC| R 1

，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。

x y

22

a,x y

22

2 a

M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周. 【点评】此题中找到了OM=

12

AB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下

列几种情况：

1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。

2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。

3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。

4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.

【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即求动点P的轨迹方程？

【解答】∵|PA|=(x 3)2 y2,|PB|

|PA||PB|

(x 3) y

2

2

|PA||PB|

…… 此处隐藏：2441字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……