人教A版数学必修一1.3《函数的基本性质》(2课时)同步辅导

1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大（小）值

学点：探究与梳理自主探究

（2）能否看出函数的最大值、最小值？

重点把握

1．在理解函数单调性的概念时，要注意以下几点：

（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，一个函数在定义域内不同的区间上可以有不同的单调性．

（2）函数单调性定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即在定义域内某个区间上任意取x1、x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常设x1 x2；三是属于同一个单调区间．

（3）对于单独的一个点，由于它的函数值是唯一的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此，在书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以；若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间．

（4）若函数f(x)在其定义域内的两个区间A、B上都是增（或减）函数，一般不能简单认为f(x)在A B上是增（或减）函数，例如f(x) 1在(0, )上是减函数，在( ,0)x

上也是减函数，但不能说它在定义域( ,0) (0, )上是减函数．

2．单调性的证明方法

证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：

（1）设元：即设x1、x2是该区间内的任意两个自变量值且x1 x2；

（2）作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；

（3）变形：将上述差式通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；

（4）定号：对上述变形的结果的正、负加以判断；

（5）判断：对f(x)的单调性作出结论．

其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止．

3．单调性的判断方法：

（1）定义法：利用定义严格判断；

（2）图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间；

（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性．几条常用的结论：①在公共区间内：增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减；②函数y f(x)与函数y f(x)的单调性相反；③当f(x) 0或f(x) 0时，函数y 1与函数y f(x)的单调性相反． f(x)

（4）复合函数y f[g(x)]单调性的判断：①将复合函数y f[g(x)]分解成外函数y f(u)和内函数u g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定内、外函数的单调区间；④若内、外函数在对应的区间上的单调性相同，即同是增函数或同是减函数，则函数y f[g(x)]为增函数；若内、外函数在对应的区间上的单调性相反，即一增一减，则函数y f[g(x)]为减函数（同“增”异“减”） ．

4．函数的最值与值域、单调性之间的关系

（1）对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数f(x) 1的值域x

为( ,0) (0, )，但此函数没有最大值和最小值.如果函数有最值，则最值一定是值域中的一个元素．

（2）若函数在闭区间[a,b]上是减函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a,b]上是增函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．

题例：解析与点拨

例1（1）证明函数f(x) x 1在(0,1)上是减函数； x

（2）证明函数f(x) x在定义域上是减函数．

证明：（1）设0 x1 x2 1，则

f(x1) f(x2) (x1

1) x1x211) (x2 )x1x2 (x1 x2) x2 x1x1x2 (x1 x2)(1

(x1 x2)(x1x2 1)， x1x2

因为0 x1 x2 1则x1x2 1 0，x1 x2 0，

∴f(x1) f(x2) 0，即f(x1) f(x2)，所以函数f(x) x

函数．

（2）函数f(x) x的定义域为[0, )，

设0 x1 x2，则f(x1) f(x2) ( x1) ( x2) 1在(0,1)上是减xx2 x1

． (x2 x1)(x2 x1)

x2 x1 x2 x1x2 x1

因为0 x1 x2，则x2 x1 0，x1 x2 0，

∴f(x1) f(x2) 0，即f(x1) f(x2)，所以函数f(x) x在定义域上是减函数．

点拨：证明函数单调性的关键是判断f(x1)与f(x2)的大小关系，而往往转化为判断f(x1) f(x2)的符号，对f(x1) f(x2)的变形，尽量变形为几个最简单的因式的乘积的形式．对于（2）的易错点是直接由0 x1 x2得0 x1 x2，这种证明利用了函数y x的单调性，而y x的单调性，我们没有证明，因此不能直接使用．

例2 确定下列函数的单调区间：

（1）f(x) x2 2x 3；（2）f(x)

（3）f(x) x2 x 6； 1. 2x x 1解析：（1）f(x) x2 2x 3 x2 2x 3,x 0 2，其图象如右图所示

x 2x 3,x 0

[0,1]上是增函数，[1, )由图象可知：f(x) x2 2x 3在( , 1]，在[ 1,0]，

上是减函数．

（2）函数f(x)的定义域为( , 3] [2, )，

u x x 6 (x 212251) 是对称轴为x ，开口向上的抛物线，故242

在( , 3]上是减函数，而y 是[0, )上u x2 x 6在[2, )上是增函数，

的增函数，所以f(x) x2 x 6在[2, )上是增函数，在( , 3]上是减函数．

（3）函数f(x)的定义域为R，

11u x2 x 1在( ,]上单调递减，在[, )上单调递增，且x R都有22

131u x2 x 1 (x )2 0；而y 在(0, )上单调递减， 24u

所以函数f(x) 111( ,][, )上单调递减． 在上单调递增，在222x x 1

点拨：函数的单调区间是函数定义域的子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数单调区间的运算应该在函数定义域内进行；可以利用函数的图象确定函数的单调区间．

例3 已知函数f(x) x2 2(a 1)x 2在区间( ,4]上是减函数，求实数a的取值范围．

解析：本题解决问题的关键是结合二次函数的图象，找出图象的对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解．

f(x) x2 2(a 1)x 2 [x (a 1)]2 2 (a 1)2的对称轴为x 1 a， ∴f(x)的单调减区间是( ,1 a]．∵f(x)在区间( ,4]上是减函数，

∴对称轴x 1 a必须在直线x 4的右侧或与其重合，∴1 a 4，解得：a 3．

点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想．

变式训练1：已知函数f(x) x a在区间( ,2]上单调递减，求实数a的取值范围．

例4 已知f(x)是定义在[ 1,1]上的增函数，且f(x 2) f(1 x)，求x的取值范围． 解析：∵f(x)是定义在[ 1,1]上的增函数，且f(x 2) f(1 x)，

1 x 2 133 ∴ 1 1 x 1，解得：1 x ，∴x的取值范围是1 x ． 22 x 2 1 x

点拨：由函数单调性的定义知，若函数f(x)是区间上的增函数，则有x1 x2 f(x1) f(x2)；还要注意函数定义域的制约．

例5 求函数f(x) x在区间[2,5]上的最大值与最小值． x 1

解析：先用函数单调性定义确定函数在区间上的单调性，再求其最值．

任取2 x1 x2 5，则f(x1) f(x2) x1xx2 x1． 2 x1 1x2 1(x1 1)(x2 1)

∵2 x1 x2 5，∴x1 1 0，x2 1 0，x2 x1 0，

∴f(x1) f(x2) 0即f(x1) f(x2)，∴函数f(x)

减，

∴f(x)max f(2) 2，f(x)min f(5) x在区间[2,5]上单调递x 15． 4

点拨：求函数在某区间上的最值，一般应先判定函数在该区间的单调性，运用函数单调性是求最值的重要方法．

例6 求函数f(x) x2 2ax 1在区间[0,2]上的最大、最小值．

解析：f(x) (x a)2 a2 1，其图象的对称轴为x a．

（1）当a 0时，由图1可知，f(x)min f(0) 1，f(x)max f(2) 3 4a；；；

（2）当0 a 1 …… 此处隐藏：3177字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……