现代信号处理教程 - 胡广书(清华)(2)

图3.4.2 例3.3 信号的WVD，计算时没有加窗

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第3章 Wigner分布 - 第二部分

3.5 Wigner分布中交叉项的的行为

我们在3.2 节讨论了WVD的许多优点，同时也指出：由于WVD是双线性形式的变换，因此两个信号和的分布将存在交叉项。由例3.3.4可知，由于实正弦信号在 0处有两个谱分量，由此产生了在 0处的交叉项。该交叉项在 0处以 0为频率作余弦变化，且幅度是两个自项的两倍。当 0很小时，两个自项将和这一交叉项很接近。因此，交叉项的存在将严重影响对自项的识别，从而也就严重影响了对信号时－频行为的识别。我们在下一章将要谈到，目前人们已提到了十多种具有双线性形式的时－频分布，它们被统称为“Cohen类”。这些分布提出的一个重要目的是削弱Wigner分布中的交叉项，并改进自项的分辨率。为了搞清削弱交叉项的途径，我们有必要仔细了解Wigner分布中交叉项的行为。现举几个例子说明该问题。

例3.5.1 设信号x t 由两个“原子”信号复合而成。所谓“原子信号”，是指：h t t0 e

j 0t

这一类信号，其中h t 为时域有限长的窗函数，在构成“原子”时，常用的是高斯窗。因此，“原子”通常是在时域和频域都相对集中的信号。设x1 t 、x2 t 是两个“原子”，信号

x t x1 t x2 t 。我们分两种情况来考虑它们的WVD：

１、设x1 t 和x2 t 具有相同的频率，但具有不同的时间中心，即 x1 t h t t1 e

j 0t

　　　　　　t1 28， 0 0.25 　　　　　　t2 100， 0 0.25

x2 t h t t2 e

j 0t

其时频分布如图3.5.1a所示。显然，在 t1， 0 及 t2， 0 处是两个“原子”的自WVD，而二者之间的是交叉项。从图中看，该交叉项位于两个自项的中间，频率与自项相同，其位置大致是

t1 t2

， 0 64，0.25 处。如果将该时－频分布图画成立体的，那么，我们将2

j 1t

会看到，其交叉项的幅度远大于自项的幅度。 ２、令 x1 t h t t0 e

　　　　t0 64， 1 0.1

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第3章 Wigner分布 - 第二部分

x2 t h t t0 e

j 2t

　　　t0 64， 2 0.4

其时－频分布如图3.5.1b所示。显然，两个自项均位于同一时刻(t0 64)处，频率分别是0.1和0.4；两个自项中间的是交叉项，其位置大致是在 t0

1 2

2

0.25 处。同样， 64，

其幅度也远大于自项的幅度。

图3.5.1 两个时－频“原子”的WVD中交叉项的行为， （a）二者具有相同的频率中心，（b）二者具有相同的时间中心

，0.15 ， 例3.5.2 设x t 也是由两个原子复和而成。它们的位置分别位于 t1， 1 32

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第3章 Wigner分布 - 第二部分

t2， 2 96，0.35 处，其时－频分布如图

3.5.2a所示。显然，两个自项的位置也分别在

t1， 1 ， t2， 2 处。交叉项在两个自项的中心连线上，位值大致在

t1 t2 1 2

2 2

0.25 处。 64，

如果对该信号的实部求WVD，其WVD如图3.5.2b所示。由于有两个原子复合而成的x t 是解析信号，故无负频率存在，交叉项只有一项（见图3.5.2a）。仅取它的实部，这时就有两

96，个负频率分量存在，因此，该信号的WVD共有四个自项，分别位于 32， 0.15 ， 0３.5

处。由这四个自项，将会产生4 6个交叉项。其位置示于图3.5.2b中，其中最中心的

是由两个互相迭加而成，而在同一时刻位于边缘上的两个应为一个（周期关系）。

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第3章 Wigner分布 - 第二部分

图3.5.2 两个时间不同，频率不同的“原子”组成的信号的WVD （a）两个时－频“原子”都为复信号时的WVD，（b）其实部的WVD

例3.5.2 令x t 由四个“原子”复合而成，即x t x1 t x2 t x3 t x4 t ，这四个“原子” 的位值分别是 t1， 1 280.4 ， t3， 3 100，0.1 ， t2， 2 28，，0.1 ，

t4， 4 100，0.4 。该信号的WVD如图3.5.3a所示。

由该图可以看出，x t 的WVD有四个自项。其时频位值分别和x1 t ~x4 t 的时间位置及调制频率相同。图中含有六个交叉项，其中心位置分别在： 28，0.25 、 64，0.1 、

64，其中，在最中心的 64，0.25 、 64，0.4 及 100，0.25 处。0.25 处应是两个交叉项的迭加。

ti tj i j

由此结果可以看出，交叉项的位置大致处在每两个自项中间处，即： 22

处。

如果我们在对该信号求WVD时用伪WVD，即对rx t， x t 2 x t 2 作加窗处理，那么，所得WVD如图3.5.3b所示。显然，这时的交叉项可得到有效的抑制，即交叉项由六个变成了两个。

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第3章 Wigner分布 - 第二部分

图3.5.3 四个“原子”迭加后的WVD （a）没加窗的WVD，（b）加窗后的伪WVD

以上我们用三个实例，即由不同时间位置和调制频率的“原子”信号复合后的WVD为例说明了WVD中交叉项的大致行为。现再以高斯幅度调制信号为例具体说明WVD中交叉项的行为，以期为抑制这些交叉项找到有效的途径。 例3.5.4 令 x t

t( ti exp i 1

2

1

4

2

2j it （3.5.1） 　　　　　　

［13］

显然，中心分别在 t1， 1 和 t2， 2 处。可求出x t 由两个频率调制高斯信号所组成，

。

122

W t， 2 exp t ti i

i 1

122

　　　 4exp t tu u cos u td t tu d dtu

（3.5.2）

2

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第3章 Wigner分布 - 第二部分

（3.5.2）式包含两项，第一项是x t 的WVD的自项，中心也分别位于 t1， 1 和 t2， 2 处，它们都是高斯型函数。第二项是其交叉项，式中

tu (t1 t2) u ( 1 2)2　　　　　 （3.3.3a） td t1 t2 (3.3.3b) ，　　　　　 d 1 2 　　　　　　　显然，交叉项的包络也是高斯型函数，其中心在 tu， u 处，这是两个自项在时－频平面上的几何中心。交叉项的高斯包络受到在时间和频率两个方向上都是余弦函数的调制。其震荡速度正比于td和 d，即两个自项中心的时间、频率距离。由（3.5.2）式可以得出，该例WVD的自项是恒正的，而交叉项可取负值。其WVD如图3.5.4所示。

图3.5.4 两个高斯调制信号的WVD

由本节例3.5.1～3.5.4可以看出，两两自项之间将产生一个交叉项，即交叉项的数目为为N(N 1)2，每一个交叉项都位于产生它的自项的几何中心，其振荡频率也取决于两个自项的时间和频率距离。进一步，若将（3.5.2）式代入（3.2.4）式，可求出： x t 式中

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2

2222

(3.5.4) exp t ti Atdexp t tu co s dt 　 i 1

第3章 Wigner分布 - 第二部分

Atd

2

2

2

(3.5.5) exp td4 　　　　　　

d

Atd

反映了交叉项的衰减。显然，两个自项离得越远，则t

2

越大，这样Atd

衰减越快，

2

这样，WVD的互项中的能量越小。这说明，只有距离较近的自项 …… 此处隐藏：2486字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……