现代信号处理教程 - 胡广书(清华)

第3章 Wigner分布 - 第二部分

为了看清图3.3.4中交叉项的行为，我们将该图作了旋转，因此，水平方向为频率，垂直方向为时间。

图3.3.3 例3.3.3的WVD 图3.3.4 例3.3.4的WVD

例3.3.5 令

t2 x t e （3.3.5）

可求出其WVD为

Wx t, 2exp[ t2 2] （3.3.6）

这是一个二维的高斯函数，，且Wx t, 是恒正的，如图3.3.5所示。

由该图可以看出，该高斯信号的WVD的中心在 t, 0,0 处，峰值为2。参数 控制了WVD在时间和频率方向上的扩展。 越大，在时域扩展越小，而在频域扩展越大，反之亦然。其WVD的等高线为一椭圆。当WVD由峰值降到e时，该椭圆的面积A 。它反映了时－频平面上的分辨率。 如果令 h t

1

1

4

t2 t2ext ，，则x t 的谱图 e

2

1

414

STFTx t,

2 1exp t 2 （3.3.7）

281

第3章 Wigner分布 - 第二部分

图3.3.5 例3.3.5的WVD,（a）高斯信号，（b）高斯信号的WVD

它也是时－频平面上的高斯函数。当其峰值降到e时，椭圆面积A 2 。这一结果说明，WVD比STFT有着更好的时－频分辨率。

如果令 x1 t x t t0 e

j 0t

1

（3.3.8）

式中x t 是（3.3.5）式的高斯函数。x1 t 是x t 的时移加调制，其WVD是：

Wx1 t, 2exp[ (t t0) ( 0)/ ] （3.3.9）

2

2

它将（3.3.6）式的Wx t, 由 t, 0,0 移至 t, t0, 0 处。其WVD图形请读者自己画出。

例3.3.6 令 z t 它是由（3.3.5）式的x t 与

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t2j t2j 0tee （3.3.10） e

1

4

第3章 Wigner分布 - 第二部分

j te y t Ae

2

j 0t

（3.3.11）

相乘而得到的（在（3.3.9）式中，A=1）。我们已熟知y t 为线性调频Chirp信号，其WVD是：

Wy t, 2 A 0 t （3.3.12）

其图形我们已在图1.1.2中给出。（3.3.9）式z t 的WVD是

Wz t, 2exp[ t ( 0 t)/ ] （3.3.13）

2

2

2

它是恒正的。显然，高斯信号、Chirp信号都是（3.3.9）式z t 的特例。Wz t, 如图3.3.6所示。

图3.3.6 例3.3.6的WVD，（a）Chirp信号，（b）Chirp信号的WVD

例3．3．7 令x(t)为一多普勒信号。所谓多普勒信号指的是一个物体相对一个位置不变的“观察者（如雷达）”运动时，

“观察者”所听到或所记录到的该物体运动的信号，如其运动

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第3章 Wigner分布 - 第二部分

的速度或发出的声音。众所周知，当该运动物体接近和远离“观察者”时，其信号当频率会发生变化。图3.3.7 给出了该信号当时域波形、频谱及时－频分布。由该图可看出信号的能量随时间和频率的分布。

图3.3.6 例3.3.6的WVD

3.4 Wigner 分布的实现

如同许许多多的其它信号处理的算法一样，我们最终的目的是要将它们应用于科研或工程的实际。这时所遇到的问题同样是信号的离散化及数据的有限长问题。 在（3.1.2）式中，若令对信号x t 的抽样间隔为Ts，即t nTs，并令这样，（3.1.2）式对 的积分变成对k的求和，即 Wx t, 2Ts

2

kTs，则 2kTs，

k

x nT kT x nT kT e

s

s

s

s

［19］

j2k Ts

（3.4.1）

若将Ts归一化为1，并考虑到相对离散信号的频率 Ts Wx t, 2

，则上式变为：

k

x n k x n k e

j2k

（3.4.2）

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第3章 Wigner分布 - 第二部分

我们知道，将x t 变成x n ，则x t 的频谱X j 将变成周期的频谱Xej ，周期为2 ，且2 对应的抽样频率为fs。与此同样的是，x t 的WVDWx t, 也变成周期的Wx n, ，但是，由（3.4.2）式，Wx n, 的周期为 ，即： Wx n, 2

k

x n k x n k e

j2k

（3.4.3）

众所周知，若x t 的最高频率为fmax，那么，抽样频率至少应满足fs 2fmax。这是由抽样定理所决定的。如若按fs 2fmax对x t 抽样，那么用抽样后的x n 做WVD，由于其周期变为 ，因此在WVD中必将产生严重的混迭。解决这一问题的直接方案是提高抽样频率，要求fs至少要满足

fs 4fmax （3.4.4） 但是，一旦信号x t 由fs 2fmax抽样变成x n 后，要想对x t 重新抽样是困难的。解决该问题的较为简便的方法有两个：

t ，按 １、采用解析信号，由解析信号的性质可知，将x t 作Hilbert变换得到x t 构成解析信号。z t 只包含x t 的正频率部分。这样，既可减轻由正、负z t x t jx

频率分量所引起的交叉项干扰，又可在保持原有抽样频率fs 2fmax的情况下，避免了频域的混迭；

２、对x n 作插值，人为地将其抽样频率fs提高。具体办法是：

若想将抽样频率fs提高一倍，则可将x n 每两点之间插入一个零，然后再让该信号通过一低通数字滤波器，从而将插入的这些零值变成原信号相应点的插值，有关插值的原理，详见本书第5章，此处不在讨论。

对（3.4..3）式，现余下两个问题要解决。一是频率 仍需离散化，二是式中对k的求和需要取有限长。式中k是信号x的时间序号，n代表时移。现令

rx n,k x n k x n k （3.4.5）

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第3章 Wigner分布 - 第二部分

并假定x k 的长度为N，即k 0,1, ,N 1，现分析一下rx n,k 的取值情况。

如图3.4.1（a）所示，x k 0,1, ,N 1，将x k 翻转得x k ，现将x k 、x k 分别向左和向右移动n个时刻，如取n 2，N 6，则如图3.4.1（b）和（c）所示。 x(k)

（a）、x k

k

x(2 k)

（b）、x 2 k

k

x(2 k)

、x 2 k （c）

k

图3.4.1 rx n,k 的解释

当N 6时，读者不难写出：

　　　　　　　　　　n 0时，rx 0,k x0x0　　　　　　k 0

　　　　　　　　　　n 1时，rx 1,k x0x2，x1x1，x2x0　k 1~1

　　　　　k 2~2 n 2时，rx 2,k x0x4，x1x3，x2x2，x3x1，x4x0

（3.4.6） 假

n 3时，rx ３,k x１x５，x２x４，x３x３，x４x２，x５x１ 　　　　　k 2~2

　　　　　　　　　　n 4时，rx 4,k x3x5，x4x4，x5x3k 1~1

n 5时，rx 5,k x5x5 　　　　　　　　　　　　　　　　k ０

定将rx n,k 都扩充成N点序列，即在其后补零，那么，（3.4.2）式可写成 Wx n,l 2

r n,k e

xk

j

4

klN

（3.4.7）

式中，rx n,k 在任一n时刻的长度都变成了N，k的实际取值情况由（3.4.4）决定。这样，对（3.1.6）式稍作变化后即可用DFT …… 此处隐藏：2786字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……