小学奥数之几何综合

第四讲 几何综合

内容概述

勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系．与上述知识相关的几何计算问题．各种具有相当难度的几何综合题．

典型问题

1．如图30-2，已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?

【分析与解】 方法一：因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设正方形CEFG的边长为x，有：

1110x-x2

, S正方形ABCD=10 10=100,S正方形CEFG=x,S DGF=DG GF=(10-x)x=2222

1110x+x2

. 又S ABD= 10 10=50,S BEF=(10+x)x=222

阴影部分的面积为:

S正方形ABCD S正方形CEFG S DGF S ABD S BEF

10x x210x x2

100 x 50 50(平方厘米). 222

方法二：连接FC，有FC平行与DB，则四边形BCFD为梯形．

有△DFB、△DBC共底DB，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBC的面积1 10 10 5(0平方厘米)． 2

阴影部分△DFB的面积为50平方厘米．

2.如图30-4，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I等于多少度?

【分析与解】 为了方便所述，如下图所示，标上数字，

0 000 有∠I=180-(∠1+∠2),而∠1=180-∠3, ∠2=180-∠4,有∠I=∠3+∠4-180

0000同理, ∠H=∠4+∠5-180, ∠G=∠5+∠6-180, ∠F=∠6+∠7-180, ∠E=∠7+∠8-180,

0000∠D=∠8+∠9-180, ∠C=∠9+∠10-180, ∠B=∠10+∠11-180, ∠A=∠11+∠3-180

则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×(∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11)-9×0180

00 而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11正是9边形的内角和为(9-2)×180=1260．

000 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×1260-9×180=900

3．长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形．考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形．例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示．请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1<a2<a3<a4<a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为(a1,a2,a3,a4,a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一．

【分析与解】 我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出．

第一类情况：以 为特征的有7组：

第二类情况：以 为特征的有6组：

第三类情况有如下三组：

共有16组解，它们是：

(1，2，2.5，5，7.25)，(1，2，2．5，5，14.5)．

(1，2，2.25，2.5，3.625)，(1，2，2.25，2.5，7.25)．

(1，2，5，5.5，6)，(1，2，5，6，11)，

(1，2，2.5，4.5，7)，(1，2，2.5，4.5，14)，

(1，2，5，12，14.5)，(1，2，5，12，29)，

(1，2，2.25，2.5，4.5)，(1，2，5，6，12).

102025 1,,2,, ,(1,2,2.4,4.8,5), 99 9

13102514 781310 1,,,, , 1,,,, . 6363 33313

4.如图30-8，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为边AB,BC的中点．则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?

【分析与解】 如下图所示，连接EC，并在某些点处标上字母，

因为AE平行于DC，所以四边形AECD为梯形，有AE:DC=1:2，所以S AEG:S DCG 1:4,

S AGD S ECG S AEG S DCG,且有S AGD S ECG,所以S AEG:S ADG 1:2,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG：GD=1:2，同理FH：HD=1:2．

有S AED S AEG S AGD,而S AED 11 S ABCD 18(平方厘米

) 22

有EG:GD=S AEG:S AGB, 所以S AEG 12 S AED 6(平方厘米) S AGD S AED 12(平方厘米) 1 21 2

同理可得S HFC 6(平方厘米), S DCH 12(平方厘米) ,S DCG 4S AEG 4 6 24 (平方厘米)

又S GHD S DCG S DCH=24-12=12(平方厘米)

所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24(平方厘米)，所以剩下的阴影部分面积为72-24=48(平方厘米)．

5．图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?

【分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG．

设△AEG的面积为x，显然△EBG、△BFG、△FCG的面积均为x，则△ABF的面积为3x，1100400S ABF 20 10 100即x ，那么正方形内空白部分的面积为4x . 所以原题中阴233

400800 影部分面积为20 20 (平方厘米)． 33

6．如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1．求阴影部分的面积．

【分析与解】 如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等．我们把左下图中的每一部分阴影称为A，右下图中的每一部分阴影称为B． 大半圆的面积为3A 3B 3

119 小圆的面积 32 . 222

而小圆的面积为 ，则A B 1 9 3 3 ， 2 3 2

原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为

2 5 36

7.如图30-14，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边扫过部分的面积．( 取3.14)

【分析与解】 如下图所示，

如下图所示，端点A扫过的轨迹为AA A ，端点D扫过轨迹为DD D ，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，A D 所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分．

显然有阴影部分面积为S直角 A D C S扇形ACA S直角 ACD S扇形CD D,而直角三角形A D C、ACD面积相等．

所以

S直角 A D C S扇形ACA S直角 ACD S扇形CD D=S扇形ACA S扇形CD D=90 90 9AC2 CD2 (52 42) 7.065(平方厘米) 36036044

即AD边扫过部分的面积为7．065平方厘米．