2014届步步高大一轮复习讲义3.4(2)

1π如：定积分 101－xdx的几何意义是求单位圆面积的 1－xdx＝442． 求曲边多边形面积的步骤：

(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和． (4)计算定积分． 失误与防范

1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．

4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．

5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷．

A组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

ππ

1． (2011·湖南)由直线x＝－，xy＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( )

33

1

A. 2答案

D 解析

B．1

C.3

D 2

.3

2． (2012·湖北)已知二次函数y＝f(x)的图像如图所示，则它与x轴所围图形的面积为(

)

2π43π

A. B. C. D. 5322答案 B

解析 根据f(x)的图像可设f(x)＝a(x＋1)(x－1)(a<0)． 因为f(x)的图像过(0,1)点，所以－a＝1，即a＝－1. 所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.

212 13 1 1－14. 所以S＝ 1＝2－1(1－x)dx＝2 0(1－x)dx＝2x－x0

3 33

3． 已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求

的值，结果是 1π

A.＋ 62C．1 答案

B

( )

B．π D．0

解析

2 x， x∈[0，1]，

4． 设f(x)＝ 则 20f(x)dx等于

2－x， x∈ 1，2]，

( ) 3

A. 4答案 C

122

解析 如图， 20f(x)dx＝ 0xdx＋ 1(2－x)dx

4

5

5C. 6

D．不存在

12 21 ＝3|10＋2x－2|1 3151

4－2－2＋＝＝ 263

二、填空题(每小题5分，共15分)

2

5． 3－3(9－x)dx＝________.

9

答案 π

2

解析 由定积分的几何意义知所求定积分为半圆x2＋y2＝9 (y≥0)的面积S， 19∴S＝×π×9＝π.

22

1

6． 曲线y＝y＝x，x＝2所围成的图形的面积为________．

x

3

答案 －ln 2

212

解析 S＝ 1xdx－ 21x x12＝2|21－ln x|1 2

33

＝(ln 2－ln 1)＝－ln 2. 22

7． 汽车以v＝3t＋2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程

是________ m. 答案 6.5

32

t＋2t |2解析 s＝ 2(3t＋2)dt＝1

2 1 3 3713

＋2＝10－＝(m)． ＝4＋4－ 2 222三、解答题(共22分)

8． (10分)求在[0,2π]上，由x轴及正弦曲线y＝sin x围成的图形的面积．

解 作出y＝sin x在[0,2π]上的图像，如图所示． y＝sin x与x轴交点的横坐标分别为x＝0，x＝π，x＝2π，

所以所求面积为

2π

S＝ π0sin xdx＋| πsin xdx| π＝(－cos x)|0－(－cos x)|2ππ＝4.

9． (12分)汽车以54 km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s2

刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？ 解 由题意，得v0＝54 km/h＝15 m/s. 所以v(t)＝v0－at＝15－3t. 令v(t)＝0，得15－3t＝0.解得t＝5. 所以开始刹车5 s后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 32 55 s＝ 50v(t)dt＝ 0(15－3t)dt＝15t2|0＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.

B组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1． (2011·课标全国)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为

( ) 10

A. 3答案 C

B．4

16

C. 3

D．6

y＝x，

解析 由 得其交点坐标为(4,2)．

y＝x－2

因此yx与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为

4

40[－(x－2)]dx＝ 0(－x＋2)dx

231221164

x＋2x |0＝ ＝8－16＋2×4＝. 322 323

2． 一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直

线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为

( )

23

B. J 3D．3 J

3 J 3C. J

3答案 C

2

解析 2dx＝ 21F(x)×cos 30°1(5－x)dx 2

1345x－x3 ×2＝ ＝3 2133，

4

∴F(x)做的功为3 J.

33. 图中阴影部分的面积是

A．16 C．20 答案 B

yy＋4－dy 解析 S＝ －2 2

4

2

( )

B．18 D．22

yy4

＋4y－|－＝ 62＝18. 2二、填空题(每小题5分，共15分)

4. 如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中

的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________． 4答案

3

y＝－x2＋2x＋1

解析 由 ，

y＝1

23

得x1＝0，x2＝2.

22

∴S＝ 0(－x2＋2x＋1－1)dx＝ 20(－x＋2x)dx

3

x84－x2 |2＝ ＝－＋4＝0 3 33

5． 设函数f(x)＝ax2＋c (a≠0)， 10f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．

答案

3

3

12

解析 10f(x)dx＝ 0(ax＋c)dx

axa

cx |1＝ ＝0 3 3＋c，

aa2故c＝ax20＋c，即ax0＝，又a≠0， 3313所以x2. 0＝，又0≤x0≤1，所以x0＝33

1 6． (2012·上海)已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B 2，5 、C(1,0)．函数

y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与

x

轴围成的图形的面积为________．

3

5答案

4

解析 ∵y＝f(x)＝ 1

－10x＋10，<x≤1. 2

∴xf(x)＝ 1

－10x＋10x，<x≤1， 2

2

1

10x，0≤x≤，

2

1

10x2，0≤x≤2

∴所求面积为

101011101

－5 － －5× ＝＋ 4 3838 35

＝4三、解答题

7． (13分)已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，

10f(x)dx＝－2， (1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．

解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b. 由f(－1)＝2，f′(0)＝0，

a－b＋c＝2 c＝2－a 得，即 ，∴f(x)＝ax2＋2－a. b＝0 b＝0

12又 10f(x)dx＝ 0(ax＋2－a)dx

132

＋ 2－a x |1＝ ＝2＝－2， 0 3 3得a＝6，从而f(x)＝6x2－4. (2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]． ∴当x＝0时，f(x)min＝－4； 当x＝±1时，f(x)max＝2.