2014届步步高大一轮复习讲义3.4

§3.4 定积分

2014高考会这样考 1.考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理；2.利用定积分求曲边梯形面积、变力做功、变速运动的位移等．

复习备考要这样做 1.理解定积分的概念和几何意义；2.会用微积分基本定理求定积分，解决一些几何、物理问题．

1． 似代替、求和、取极限． 2． 定积分的定义

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区

n

间上任取一点ξi(i＝1,2， ，n)，作和式∑f(ξi)Δx.当n→∞时，上述和式无限接近于某个＝

i1

常数，这个常数叫作函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作

n

bb

af(x)dx，即 af(x)dx＝lim∑

n→∞i＝1

b－a

f(ξi)，其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，f(x)dx称为被积式， [a，b]为积分n

区间，a为积分下限，b为积分上限，“ ”称为积分号． 3． 定积分的运算性质

b

(1) bakf(x)dx＝k af(x)dx (k为常数)． bb(2) b ag(x)dx. a[f(x)±g(x)]dx＝ af(x)dx±cb(3) baf(x)dx＝ af(x)dx＋ cf(x)dx (a<c<b)．

4． 微积分基本定理

一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么 baf(x)dx＝又叫作牛顿——莱布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)

bb记为F(x)|ba，即 af(x)dx＝F(x)|a＝F(b)－F(a)．

[难点正本 疑点清源]

1．定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等． 2．由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．

3．利用定积分和曲边梯形面积的关系也可以计算定积分．

2

1． (2012·江西)计算定积分 1－1(x＋sin x)dx＝________.

2

答案

3

13

－cos x ′＝x2＋sin x， 解析 ∵ 3 ∴

1322 x－cos x 1 x＋sin x dx＝－1－1＝. 3 3

1

2． 直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．

8

答案

3

1822

解析 S＝ 0xdx＝3|20＝. 33

2

3． 30(x＋1)dx＝________.

答案 12

13 312 x＋x|0×33＋3＝12. 解析 3(x＋1)dx＝0

3 3

4． 由y＝cos x及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为

__________________．

π3ππ3π

答案 0cos xdx－ cos xdx＋ 2πcos xdx

2222解析 如图： 阴影部分的面积为 π

S＝ 0cos xdx－

2

.

5． 设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则 21f(－x)dx的值等于 ( )

5

A. 6答案 A

解析 由于f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1， 所以f(x)＝x2＋x，

22 1312 25于是 1f(－x)dx＝ 21(x－x)dx＝3－2|1＝ 6

1

2

2C. 3

1D.6

题型一 定积分的计算 例1 求下列定积分：

(1) 20x(x＋1)dx；

2x1(2) 21e＋xdx； πx(3) 0sin2x. 22

思维启迪：化简被积函数，由定积分的性质将其分解成各个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解．

22解 (1) 20x(x＋1)dx＝ 0(x＋x)dx

13212222＝ 2xdx＋ xdx＝x|＋x| 00

3020111423－0 ＋ ×22－0 ＝. ＝ 3 2 3

22x21 2x1(2) 21e＋xdx＝ 1edx＋ 1dx x

112214＝2x|21＋ln x|1－＋ln 2－ln 1 22211

＝4－e2＋ln 2. 22

πxπ11

－x dx (3) 0sin2x＝ 0 222 22π11π

＝ 0dx－ 0cos xdx 2222

1π1ππ1π－2＝|－sin x|0－＝2222424

探究提高 计算一些简单的定积分，解题的步骤：①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；②把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；③分别用求导公式找到一个相应的原函数；④利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；⑤计算原始定积分的值．

求下列定积分：

32(1) 20(4x＋3x－x)dx；

12 (2) 21x－x＋xdx； x(3) 0－π(cos x＋e)dx；

(4) 20|1－x|dx.

32解 (1) 20(4x＋3x－x)dx 3222＝ 20(4x)dx＋ 0(3x)dx－ 0xdx

12232＝x4|20＋x|0－x|0 2

1

＝(24－0)＋(23－0)－(22－0)

2＝16＋8－2＝22.

1222221 (2) 21x－x＋xdx＝ 1xdx－ 1xdx＋ 1dx xx22x32

＝|1－1＋ln x|21 23375＝＋ln 2＝ln 2－. 236

x(3) 0－π(cos x＋e)dx 0x＝ 0－πcos xdx＋ －πedx

1x0＝sin x|0－π＋e|－π＝1－. e

12(4) 20|1－x|dx＝ 0(1－x)dx＋ 1(x－1)dx

1 12－x |2

x－x2 |1＝ ＋0

2 2 1

111

1－ －0＋ ×22－2 － ×12－1 ＝ 2 2 2 ＝1.

题型二 求曲边梯形的面积

例2 如图所示，求由抛物线y＝f(x)＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和

点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积．

3 思维启迪：求出两切线交点M的坐标23 ，将积分区间分为两段

0，3 、33 . 2 2

解 由题意，知抛物线y＝f(x)＝－x2＋4x－3在点A处的切线斜率是k1＝f′(0)＝4，在点B处的切线斜率是k2＝f′(3)＝－2.因此，抛物线过点A的切线方程为y＝4x－3，过点B的切线方程为y＝－2x＋6.

y＝4x－3，

设两切线相交于点M，由

y＝－2x＋6

33

消去y，得x＝，即点M的横坐标为.

22

33

0上，曲线y＝4x－3在曲线y＝－x2＋4x－3的上方；在区间 3 上，曲线在区间 2 2 y＝－2x＋6在曲线y＝－x2＋4x－3的上方． 因此，所求的图形的面积是

S＝＝

[(4x－3)－(－x2＋4x－3)]dx＋x2dx＋

(x2－6x＋9)dx

[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx

999＝. 884

探究提高 对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．

1

求曲线yx，y＝2－x，y＝－所围成图形的面积．

3

y＝x解 由 得交点A(1,1)；

y＝2－x

y＝2－x

由 1得交点B(3，－1)． y＝－3x

x＋1x dx＋ 3 2－x＋1x dx 故所求面积S＝ 1013 3

2312 1 1x|0＋2x2 |3＝ 3 1 326 21413＝＝. 3636

题型三 定积分在物理方面的应用

例3 一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体

1

在s～6 s间的运动路程为__________． 2

思维启迪：从题图上可以看出物体在0≤t≤1时做加速运动，1≤t≤3时做匀速运动，3≤t≤6时也做加速运动，但加速度

不同，也就是说0≤t≤6时，v(t)为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积． 答案

49 m 4

2t 0≤t≤1

2 1≤t≤3

解析 由题图可知，v(t)＝

1 3t＋1 3≤t≤6

1

因此该物体在

s

～6 s间运动的路程为

2

，

探究提高 定积分在物理方面的应用主要包括：①求变速直线运动的路程 …… 此处隐藏：2906字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……