数值分析课程第五版课后习题答案(3)

a

b

f (x)h (x)dx f(a)h(a) f (x)h (x)dx g(a)h(a)

a

a

bb

(f,h) (h,g)

(f,f) [f (x)]2dx f2(a) 0

a

b

若(f,f) 0，则

b

a

[f (x)]2dx 0,且f2(a) 0

f (x) 0,f(a) 0 f(x) 0

即当且仅当f 0时，(f,f) 0. 故可以构成C[a,b]上的内积。

8。对权函数 (x) 1 x，区间[ 1,1]，试求首项系数为1的正交多项式 n(x),n 0,1,2,3. 解：

若 (x) 1 x，则区间[ 1,1]上内积为

2

2

1

(f,g) f(x)g(x) (x)dx

1

1

定义 0(x) 1，则

n 1(x) (x n) n(x) n n 1(x)

其中

n (x n(x), n(x))/( n(x), n(x)) n ( n(x), n(x))/( n 1(x), n 1(x)) 0 (x,1)/(1,1)

1

1

x(1 x2)dx(1 x2)dx

1

0 1(x) x

1 (x2,x)/(x,x)

1

11

x3(1 x2)dxx2(1 x2)dx

1

0

1 (x,x)/(1,1)

1

1

1

x2(1 x2)dx(1 x2)dx

1

16

2

853 2(x) x2

25