数值分析课程第五版课后习题答案(2)

x x

k 1 k

22

x xk

1 2 xk 1 xk 4 x xk

x k 1 x x

k k 1

2

2

x xk 1 1 2， xk xk 1

3 x xk 1 3 x xk

4xk (x xk) 4xk 1 x x

k xk xk 1 k 1 (x xk 1)

f(4)( )

(x xk)2(x xk 1)2 (x xk)2(x xk 1)2， 从而误差为R2(x)

4!h4

故R2(x) (x xk)(x xk 1) 。

16

2

2

20

试求三次样条函数S(x)，并满足条件： 1）S (0.25) 1.0000,S (0.53) 0.6868； 2）S (0.25) S (0.53) 0。

[解]由h0 0.30 0.25 0.05，h1 0.39 0.30 0.09，h2 0.45 0.39 0.06，

h3 0.53 0.45 0.08，及（8.10）式 j

hjhj 1 hj

, j

hj 1hj 1 hj

,(j 1, ,n 1)

可知， 1

h1h20.0990.062

， ， 2

h0 h10.05 0.0914h1 h20.09 0.065

3

h30.084 ，

h2 h30.06 0.087

h0h10.0550.093

， ， 2

h0 h10.05 0.0914h1 h20.09 0.065h20.063

，

h2 h30.06 0.087

1

3

由（8.11）式gj 3( jf[xj 1,xj] jf[xj,xj 1])(j 1, n 1)可知，

g1 3( 1f[x0,x1] 1f[x1,x2]) 3[

9f(x1) f(x0)5f(x2) f(x1)

]

14x1 x014x2 x1

90.5477 0.500050.6245 0.5477

3 ( )

140.30 0.25140.39 0.309477576819279 3 ( ) 2.7541

14500149007000g2 3( 2f[x1,x2] 2f[x2,x3]) 3[

2f(x2) f(x1)3f(x3) f(x2)

]

5x2 x15x3 x2

。

20.6245 0.547730.6708 0.6245

3 ( )

50.39 0.3050.45 0.39276834634 256 3 463 3 ( ) 2.413

590056001000

。

g3 3( 3f[x2,x3] 3f[x3,x4]) 3[

4f(x3) f(x2)3f(x4) f(x3)

]

7x3 x27x4 x3

40.6708 0.624530.7280 0.6708

3 ( )

70.45 0.3970.53 0.45446334724 463 9 1181457 3 ( ) 2.0814

760078001400700

。从而

5

209 14 2.7541 1.0000 2.1112 m1 14

23 ，解得 2m 2.413 2.4131）矩阵形式为： 2 55 1.7871 m3 2.0814 3 0.6868 4 0 27 7 m1 0.9078 n

m 0.8278

[yj j(x) mj j(x)]。 2 ，从而S(x) j 0

0.6570 m3

2）此为自然边界条件，故

g0 3f[x0,x1] 3

f(x1) f(x0)0.5477 0.5000477

3 3 2.862；

x1 x00.30 0.25500f(xn) f(xn 1)0.7280 0.6708572

3 3 2.145，

xn xn 10.53 0.45800

gn 3f[xn 1,xn] 3

2 9 14

矩阵形式为： 0

0 0

n

12250

0514247

0035247

00

0

0 m0 2.862 m 2.75411

0 m2 2.413 ，可以解得

2.0814m 3 3

m 7 4 2.145 2

m0 m 1

m2 ，从而 m3 m 4

S(x) [yj j(x) mj j(x)]。

j 0

补充题：

1、令x0 0，x1 1，写出y(x) e x的一次插值多项式L1(x)，并估计插值余项。

[解]由y0 y(x0) e 0 1，y1 y(x1) e 1可知，

L1(x) y0

x x0x x1x 1 1x 0 y1 1 e

x0 x1x1 x00 11 0，

(x 1) e 1x 1 (e 1 1)x

f ( )e

余项为R1(x) (x x0)(x x1) x(x 1), 0,1 ，

2!2

故R1(x)

1111 maxe maxx(x 1) 1 。

0 x 120 1248

2、设f(x) x4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以 1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有

f(4)( )

R3(x) (x x0)(x x1)(x x2)(x x3)

4!，

4!

(x 1)x(x 1)(x 2) (x2 2x)(x2 1) x4 2x3 x2 2x4!

从而L3(x) f(x) R3(x) x4 (x4 2x3 x2 2x) 2x3 x2 2x。 3、设f(x)在 a,b 内有二阶连续导数，求证：

maxf(x) [f(a)

a x b

f(b) f(a)1

(x a)] (b a)2maxf (x)。

a x bb a8

f(b) f(a)

(x a)是以a，b为插值节点的f(x)的线性插值多项

b a

式，利用插值多项式的余项定理，得到：

f(b) f(a)1

f(x) [f(a) (x a)] f ( )(x a)(x b)，从而

b a2

[证]因为f(a)

f(b) f(a)1

(x a)] maxf ( ) max(x a)(x b)

a x ba x bb a2a b

。

111

maxf ( ) (b a)2 (b a)2maxf (x)

a x b2a b48maxf(x) [f(a)

4、设f(x) x7 5x3 1，求差商f[20,21]，f[20,21,22]，f[20,21, ,27]和

f[20,21, ,28]。

[解]因为f(20) f(1) 7，f(21) f(2) 27 5 23 1 169，

f(22) f(4) 47 5 43 1 16705，所以f[20,21]

f(2) f(1)

169 7 162，

2 1

f[21,22]

1

2

f(4) f(2)16705 169

8268，

4 22

f[21,22] f[20,21]8268 162

f[2,2,2] 2702， 20

32 2

f(7)( )7!f(8)( )0018

f[2,2, ,2] 1，f[2,2, ,2] 0。

7!7!8!8!

1

7

5、给定数据表：i 1,2,3,4,5，

求4[解]

57

N4(x) 4 3(x 1) (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 4)

660

1 (x 1)(x 2)(x 4)(x 6)180

，插值余项为

57

4 3(x 1) (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 4)

660

1 (x 1)(x 2)(x 4)(x 6)180

f(5)( )

R4(x) (x 1)(x 2)(x 4)(x 6)(x 7), 1,7 。

5!

6、如下表给定函数：i 0,1,2,3,4，

[解]构造差分表：

t(t 1)2

f0 2

N4(x0 th) f0 t f0

由差分表可得插值多项式为：

3 3t

t(t 1)

2 3 3t t(t 1) t2 2t 32

。

第三章 函数逼近与计算

2.当f(x) x时，求证Bn(f,x) x 证明：

若f(x) x，则

k

Bn(f,x) f()Pk(x)

nk 0

n

k n

xk(1 x)n kk 0n k n

kn(n 1) (n k 1)k

x(1 x)n k

k!k 0n

n

n

(n 1) [(n 1) (k 1) 1]k

x(1 x)n k

(k 1)!k 1

n

n 1 kn k

x(1 x)

k 1 k 1 n

n 1 k 1(n 1) (k 1)

x x(1 x)k 1 k 1 x[x (1 x)]n 1

x

4。计算下列函数f(x)关于C[0,1]的f

,f1与f

2

：

(1)f(x) (x 1)3,x [0,1]1

(2)f(x) x ,

2

(3)f(x) xm(1 x)n,m与n为正整数， (4)f(x) (x 1)10e x

解：

(1)若f(x) (x 1)3,x [0,1]，则 f (x) 3(x 1)2 0

f(x) (x 1)3在(0,1)内单调递增

f

maxf(x)

0 x 1

max f(0),f(1) max 0,1

1f

maxf(x)

0 x 1

max f(0),f(1) max 0,1

1f

( (1 x)dx)

01

6

12

2

117

[(1 x)]2

07

(2)若f(x) x

1

,x 0,1 ，则 2

ff

maxf(x)

0 x 11

12

1

f(x …… 此处隐藏：2996字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……