新版线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)(3)

1013. 求与A= 0 012 可交换的全体三阶矩阵.

01 2

【解】由于

A=E+ 000

002

,

01 3

而且由

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

a1b1c1 b1c1

ac 000 000 a1

2b20b2c 2 a3

b3

c 02 3 002 2 a23 01 01 3 a3bc , 33

可得

0c1

2b1 3c1 00

0c

22b 0

2 3c22a2b32c 3 2bc

3 . 0c3

3 33 a2 3a3

b2 3b3

c2 3c3

由此又可得

c1 0,2b1 3c1 0,2a3 0,a2 3a3 0,c2 2b3,c3 b2 3b3,2b2 3c2 2c3,

2b3 3c3 c2 3c3,

所以

a2 a3 b1 c1 0,

c2 2b3,c3 b2 3b3.

a10

即与A可交换的一切方阵为 0b22b 3 其中a1,b2,b3为任意数. 0b3

b2 3b3 14. 求下列矩阵的逆矩阵.

(1)

12

(2) 123 25 ；

012 ； 001

12 1 1

000 (3) 34 2； (4)

1200 5 4 1

130

； 2 1214

5200 100 a1 (5)

2 0083

； (6) a

2

a1,a2, ,an

0 ，

0052

a n

未写出的元素都是0（以下均同，不另注）. 【解】

(1) 5 2 ; 1 21

21(2)

01 2 ; 001

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

1

10100 (3)

1 1260 6

74 1; (4)

2200 2 3214

1 2 11630 ; 11 8

524

1124

1

a1 1 200 (5)

2500 1

00 ; (6) a2

2 3 00 58

.

1

a n

15. 利用逆矩阵，解线性方程组

x1 x2 x3 1,

2x2 2x3 1, x1 x2

2. 【解】因 111 022 x1 1 111x 1 ,而022 0

1 10 2 x3

2 1 10故

1

x1 111

0

1 x 022 1 1

122 1

0 1

1 2 x3

1 10 1 1 3 . 2

2 2 111 2 2

16. 证明下列命题：

(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*. (2) 若A可逆，则A*可逆且（A*） 1=（A 1）*. (3) 若AA′=E,则（A*）′=(A*) 1.

【证明】（1） 因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得

|A|²|B|²B*A*=|AB|E(B*A*)

=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A* =(AB) *A|B|EA*=|A|²|B|(AB) *.

∵ |A|≠0,|B|≠0, ∴ (AB) *=B*A*.

(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A 1,从而(A 1) *=|A 1|(A 1) 1=|A| 1A. 于是

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

A* (A 1) *=|A|A 1²|A| 1A=E,

所以

(A 1) *=(A*) 1. (3) 因AA′=E，故A可逆且A 1=A′. 由(2)(A*) 1=(A 1) *,得

(A*) 1=(A′) *=(A*)′.

17. 已知线性变换

x1 2y1 2y2 y3,

x2 3y1 y2 5y3, x3

3y1 2y2 3y3,

求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.

【解】已知

x1 X x 221 y1

2 315 x y 2

AY, 3 323 y3

且|A|=1≠0,故A可逆，因而

7 49

Y A 1X 63 7 X,

32 4

所以从变量x1,x2,x3到变量y1,

y2,y3的线性变换为

y1 7x1 4x2 9x3,

y2 6x1 3x2 7x 3, y3

3x1 2x2 4x3,

18. 解下列矩阵方程.

(1)

12 4 6

13 X= 21 ；

(2)X 21 1 210 21 1 210 ；

11 1 1 11

(3)

14 20 31 12 X 11 = 0 1 ； 010 100 0 4(4)

3 100 1 X 001 0 20 1 . 00 01 1 20

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

【解】(1) 令A=

12 ;B= 4 6 . 13 21 由于 A 1

3 2 11

故原方程的惟一解为

X A 1

B 3 2 4 6 11 8 20

21 27

.

同理

101

2 10 (2) X= 0 010 1

; (3) X= ; (4) X= 03 4 01 1 0

40

.

10 2

19. 若

Ak=O (k为正整数)，证明：

(E A) 1=E+A+A2+ +Ak 1.

【证明】作乘法

(E A)(E+A+A2+ +Ak 1)

E+A+A2+ +Ak 1 A A2 Ak 1 Ak E Ak E,

从而E A可逆，且

(E A) 1=E+A+A2+ +Ak 1

20.设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A 1及(A+2E) 1. 【证】因为A2 A 2E=0, 故

A2 A 2E 1

2

(A E)A E.

由此可知，A可逆，且

A 1 1

2

(A E).

同样地

A2 A 2E 0,A2 A 6E 4E,(A 3E)(A 2E) 4E,

1

4

(A 3E)(A 2E) E.由此知，A+2E可逆，且

(A 2E) 1 14(A 3E) 1

4

(A E)2.