新版线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

线性代数习题及答案all in

习题一

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659； (2) 987654321；

(3) n(n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n)(2n 2)…2. 【解】

(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;

(3) τ(n(n 1)…3²2²1)= 0+1+2 +…+(n 1)=

n(n 1)

;

2

(4) τ(13…(2n 1)(2n)(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n(n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.

5x12

4. 本行列式D4

323

的展开式中包含

x1x

x12

x

x3和x4的项.

122x

(i1i2i3i4)

解： 设

D4

i1i2i3i4

( 1)

ai11ai22ai33ai44 ，其中i1,i2,i3,i4分别为不同列中对应元素的行下标，则D4展

开式中含

x3项有

( 1) (2134) x 1 x 2x ( 1) (4231) x x x 3 2x3 ( 3x3) 5x3

D4展开式中含x4项有

( 1) (1234) 2x x x 2x 10x4.

5. 用定义计算下列各行列式.

0200

(1)

1230

； (2)

001030000004

τ

002030450001

.

【解】(1) D=( 1)

(2314)

4!=24; (2) D=12.

6. 计算下列各行列式.

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

2

14 13 12 1ab ac ae(1)

123 2； (2)

bdcd de；

506 2 bf

cf

ef

a 1

001234(3)

1b 10234101c 1； (4)

3412.

1d4123

5

06 22 1【解】(1)

D

r1 r2

3 1123 2 0;

5

06 21

1 1(2)

D abcdef 11

1 4abcdef

;

1 1 1

b 1

01 1

(3)D a1

c 1 ( 1)20

c 1 a bc 1 1 1

1

d

01d 1d0d cd 1

abcd ab ad cd 1;

234

234

2

34cr(4)D1 c

23412 r111

3r3 2r20

11 3cc1 c3

r1 c4

412

0 r3 rr14 1

02 2 2r

4 r20

0 4

4 160.123

1 1 1

47. 证明下列各式.

a2

abb2(1)

2aa b2b (a b)2； 1

1

1

a2

(a 1)2(a 2)2(a 3)2(2)

b2(b 1)2(b 2)2(b 3)2c

2

(c 1)2

(c 2)

2

(c 3)

2

0；

d2(d 1)2(d 2)2(d 3)2

a2

a3aa2

(3)

b2b3 (ab bc ca)bb2

c2

c3

c

c2

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

a00b

(4)

D

0ab02n0cd0 (ad bc)n；

c

d

1 a1

1 111 a2

1(5)

n

1 n

1 i ai. i 1ai 1

1

1

1 an

【证明】(1)

cc(a b)(a b)b(a b)b2

左端1 c

3

2(a b)a b2b2 c3

001

(a b)(a b)b(a b)2(a b)

a b

(a b)2

a bb2

1

(a b)3 右端.

a2

2a 14a 46a 9a22a 126c-c2(2)

左端2

1

b22b 14b 46b 9c3-2c2c2c 1

4c 4

6c 9

c

b2b 126 0 右端.

c3 cc14 3c2

41

c

2

c

2

2c 126d2

2d 14d 46d 9

d2

2d 126

(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:

xx2

x3f(x)

aa2a3bb2

b

3

(x a)(x b)(x c)(a b)(a c)(b c)(*)c

c2

c3

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为

aa2

(ab bc ac)(a b)(a c)(b c) (ab bc ac)bb2,

c

c2

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故

a2

a3( 1)1 1b2

b3, c2

c3

(4) 对D2n按第一行展开，得

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

ab00a

b

a

ba

bD2n a

cd b

c

d

cd00cd0

d

c0

ad D2(n 1) bc D2(n 1) (ad bc)D2(n 1),

据此递推下去，可得

D2n (ad bc)D2(n 1) (ad bc)2D2(n 2)

(ad bc)n 1D2 (ad bc)n 1(ad bc) (ad bc)n

D2n (ad bc)n.

(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.

当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n 1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立. 按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：

a1 101

1 11 a1D11 a

1111 a2

102n

1

1

1

1

11 1 an 1

01

1

1

an

a1a2 an 1 anDn 1.

但由归纳假设

n 1D1

n 1 a1a2 an 1

1

i 1a , i

从而有

n 1D aa1

n1a2 n 1 ana1a2 an 1 1 i 1a

i

a n1 n1 n

1a2 an 1an 1 a 1 ai.i 1i i 1ai i 1

8. 计算下列n阶行列式.

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

x1 1

122 2 12

22 2(1)

D1xn

(2)

Dn 2

23 2；

11 x

2

2

2

n

xy0

000

xy 00

(3)Dn

. (4)Dn aij

其中aij

i j(i,j 1,2, ,n) ；

000 xyy

x

210 00121 00

(5)D12 00n

0

.

000 21000 12

【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n 1),得

1 1

Dn [x (n 1)]

x 1

,

1 x

将第一行乘（ 1）后分别加到其余各行，得

1

1 1Dn [x (n 1)]

1x 1

0 1

(x n 1)(x 1)n.

x 1

222 2000

0222 2r010 010 0D2 r1

(2)

0nr

3 r1002 0002 0 2(n 2)!.

r n r1

000

n 000 n 2

(3) 行列式按第一列展开后，得

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

x0Dn x

0y

yx 00

0 00y 00

0 x0 0

yx

yx 0

0yx 0

0 000 00y 00

y

y( 1)n 10

0 x

x x(n 1) y ( 1)(n 1) y(n 1) xn ( 1)n 1yn.

(4)由题意，知

a11

a12 a1na22 a2n

an2 ann

01 11

01 2

11 11

2

101

210

n 1 n 2 n 3

0

Dn