新版线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)(2)

【解】

234134A41 A42 ( 1)4 1344 ( 1)4 2344 3 9 12.

567

167

同理

A43 A44 15 6 9.

12. 用克莱姆法则解方程组.

x1 x2 x3 5,

5x1 6x2 1,

2x x x x 1,

x1 5x2 6x3 0,

(1)

1234

x x2 5x3 6x4 0, 1 2x (2) 2 x3 x4 2, x2 2x3 3x4 3.

x3 5x4 6x5

0,

x4 5x5 1.

【解】方程组的系数行列式为

11101110

D

21 11

0 1 31

1 31 1 31

12 1101 21 1 21 0

52 18 0; 01

2

3

1

2

3

1

2

3

14

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

51101510D11 1121 111

22 11 18;

D2

12 11 36;

31

2

3

03231150

11

1

5

D1111 113

21221 36;

D4

212 12 18.

0133

01

2

3

故原方程组有惟一解，为

xD11

1,xD 2,xD3D

4D2 2D3 D 2,x4 D

1.2)D 665,D1 1507,D2 1145,D3 703,D4 395,D5 212. x1507665,x2293779212

1 2 133,x3 35,x4 133,x5 665

.

13. λ和μ为何值时，齐次方程组

x1 x2 x3 0,

x1 x2 x3 0, x1

2 x2 x3 0

有非零解?

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

11

1

1 0,

12 1

即

(1 ) 0.

故

0或 1时，方程组有非零解.

14. 问：齐次线性方程组

x1 x2 x3 ax4 0,

x1 2x2 x3 x4

0, x1 x2 3x3 x4 0, x1 x2 ax3 bx4 0

有非零解时，a,b必须满足什么条件？ 【解】该齐次线性方程组有非零解，a,b需满足

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

121

11a

a1b 0,

1 31

即(a+1)2=4b. 15. 求三次多项式

f(x) a0 a1x a2x2 a3x3，使得

f( 1) 0,f(1) 4,f(2) 3,f(3) 16.

【解】根据题意，得

f( 1) a0 a1 a2 a3 0;f(1) a0 a1 a2 a3 4;f(2) a

0 2a1 4a2 8a3 3;f(3) a0 3a1 9a2 27a3 16.

这是关于四个未知数a0,a1,a2,a3的一个线性方程组，由于

D 48,D0 336,D1 0,D2 240,D3 96.故得a0

7,a1 0,a2 5,a3 2

于是所求的多项式为

f(x) 7 5x2 2x3

16. 求出使一平面上三个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)位于同一直线上的充分必要条件.

【解】设平面上的直线方程为

ax+by+c=0 (a,b不同时为0)

按题设有

ax1 by1 c 0, ax 2 by2 c 0, ax3

by3 c 0,

则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

x1y11x2y21 0 x3

y31

上式即为三点(x1,y1),(x2,

y2),(x3,y3)位于同一直线上的充分必要条件.

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

习题 二

1. 计算下列矩阵的乘积.

1 1

32 10 ； （2） （1）= 2 3

500 1 031 2 ； 021 3

a11

x3 a21

a31

a12a22a32

a13 x1

x ； a23 2 a33 x3

（3）

3

2

； （4） x1

1234

1 0

a12a22a32

a13 100

011 ； （6） a23 a33 001

x2

a11

（5） a21 a31

【解】

1

0 0 0210 1

0101

021 0

003 01

12 1 . 0 23

00 3

03

(1)

32 1 3 21

64 2

96 3

2111

2222

0

5

0 ; (2) 3 ; (3) (10);

0

1

0

2333

3

3

(4)

ax ax ax (a12 a21)x1x2 (a13 a31)x1x3 (a23 a32)x2x3 aijxixj

i 1j 1

a11 (5)a21 a31

a12a22a32

a12 a13

a22 a23 ; (6) a32 a33

1

0 0 02

12 4 . 0 43

00 9

25

2.

111 121 ，B 13 1 ，

11 设A 1 1 11 214

求(1)

AB 2A;(2) AB BA；(3) (A+B)(A B) A2 B2吗?

242 440 AB 2A 400 ; (2) AB BA 5 3 1 ;

024 31 1

【解】(1)

(3) 由于AB≠BA,故(A+B)(A B)≠A2 B2. 3. 举例说明下列命题是错误的.

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

(1) 若A2 O， 则A O； (2) 若A2 A， 则A O或A E；

(3) 若AX=AY，A O， 则X=Y.

【解】

(1) 以三阶矩阵为例，取A 001 000 ,A2

0,但A≠0

000 1 (2) 令A 10

000 ,则A2=A,但A≠0且A≠E

001

(3) 令A 110 011 2 1 0,Y= 1 ,X 2

101 1 0

则AX=AY,但X≠Y.

4.

设A 1 , 求A2，A3，…，Ak.

01

【解】

A2 12 3 1 01 ,A 3 01 , ,Ak 1k 01

. 5.

A= 10 0 1 ，

求

A2,A3并证明：

00

k k 1

k(k 1)k 2Ak= k

2

0 k

k k 1 .

00

k

2

2

1 33 2

3 【解】A2

=

0 2

2 3 2 ,A3=

0 3

.

00

2

00 3

今归纳假设

k

k k 1

k(k 1)k 2Ak=

2

0 k

k k 1

00

k

那么

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

Ak 1 AkA

k = 0 0k k 1

k(k 1)k 2

10 2

0 1 kk 1

k

00 0 k

k 1(k 1) kk(k 1)k 1

2

0 k 1(k 1) k

,

00 k 1

所以，对于一切自然数k,都有

k

k k 1

k(k 1)k 2Ak=

2

0 k

k k 1

.

00

k

6. 已知

AP=PB，其中

100 B= 000 100

,P= 2 10

1

00 1 21

求

A及A5.

【解】因为|P|= 1≠0,故由AP=PB,得

100

A PBP 1 200 ,

1 1

6

而

A5 (PBP 1)5 P(B)5P 1

100 100 100 2 10 000 10 1 2 10 20 211 00 411 6 1 abcd b

ad

c 7. 设A=

cda b ，求|A|. d

c

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