概率论与数理统计(经管类第三版)第3章 多维随机变量及其分布(2)

dx ∫ Ke 2 x 3 y dy = 1 ∫0 0

y

K∫e

dx ∫ e0

+∞

3 y

K dy = = 1 6

K=6x+2y=1

(2) F ( x, y ) =x y

∫ ∫ 6e 2u 3v dudv = 0 0 0

∞ ∞

∫ ∫ f (u, v)dudv(3)x > 0, y > 0 其它O1 1 x 2

x y

x

P ( X + 2Y ≤ 1) = ∫ dx ∫ 6e 2 x e 3 y dy0 0

(1 e 2 x )(1 e 3 y ) x > 0, y > 0 = 0 其它

= 2 ∫ e0

1

1 (1 x ) 2 x 3 y 2 0

e

dx ≈ 0.5135

概率论与数理统计

四 边缘分布 1、二维随机变量的边缘分布函数 、 二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有 作为一个整体， 二维随机变量 作为一个整体 联合分布函数F(x,y),而X和Y都是随机变量， 都是随机变量， 联合分布函数 ， 和 都是随机变量 各自也有它们的分布函数， 各自也有它们的分布函数，记X的分布函数 的分布函数 随机变量(X,Y)关于 的边缘分 关于X的边缘分 为FX(x),称为随机变量 ，称为随机变量 关于 布函数； 的分布函数为 的分布函数为F 布函数；Y的分布函数为 Y(y),称为随机变 ，称为随机变 关于Y的边缘分布函数 量(X,Y)关于 的边缘分布函数。 关于 的边缘分布函数。 由分布函数的定义可得到联合分布函数 和边缘分布函数的关系(P54)FX ( x) = P( X ≤ x) = P( X ≤ x, Y ≤ +∞) = F ( x, +∞)FY ( y ) = P(Y ≤ y ) = P( X ≤ +∞, Y ≤ y ) = F (+∞, y )

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边缘分布的几何意义 FX(x)的函数值表示随机点 的函数值表示随机点 的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区 落入如下左图所示区 域内的概率； 域内的概率； FY(y)的函数值表示随机点 的函数值表示随机点 的函数值表示随机点(X,Y)落入如下右图所示区 落入如下右图所示区 域内的概率。 域内的概率。y y y

O

x

x

O

x

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设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 例3.6 设二维随机变量 的联合分布函数为 x y F ( x, y ) = A B + arctan C + arctan 2 2 其中A, , 为常数 为常数， ∈ 其中 ，B,C为常数，x∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞)

, ∈(1)试确定 ，B,C;(2)求X和Y的边缘分布函数；(3)求P(X>2) 试确定A, , ; 求 和 的边缘分布函数 的边缘分布函数； 求 试确定 解 (1)由联合分布函数性质 可知 由联合分布函数性质2可知 由联合分布函数性质

F ( +∞, ∞ ) = A B + C = 0 F ( ∞,+∞ ) = A B C + = 0 2 2 2 2 1 π π x π y π 1 F ( x, y ) = 2 + arctan + arctan C= 解得 A = 2 B = 故 π 2 2 2 2 2 2 π 1 π x 1 1 x (2) FX ( x) = F ( x,+∞) = 2 + arctan π = + arctan x ∈ ( ∞,+∞ ) π 2 2 2 π 2 1 π π π y 1 1 y y ∈ ( ∞,+∞ ) FY ( y ) = F ( +∞, y ) = 2 + + arctan = + arctan π 2 2 2 2 2 π 2

π π F (+∞,+∞) = lim F ( x, y ) = A B + C + = 1 x → +∞ 2 2 y → +∞ π π π π

(3)由 的分布函数可得 (3)由X的分布函数可得

1 1 π 1 P ( X > 2) = 1 P ( X ≤ 2) = 1 FX ( 2) = 1 + = 2 π 4 4