概率论与数理统计(经管类第三版)第3章 多维随机变量及其分布

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第三章 多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 二维随机变量及其分布 随机变量的独立性

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3.1 二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其分布函数 二维随机变量(p53) 1、二维随机变量(p53) 是随机试验E的样本空间 设S是随机试验 的样本空间，X=X(e),Y=Y(e)是 是随机试验 的样本空间， , 是 定义在S上的随机变量 上的随机变量， 定义在 上的随机变量，则由它们构成的一个二维向 称为二维随机变量 量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。 称为二维随机变量或二维随机向量。 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与 及Y有关，而 的性质不仅与X及 有关 有关， 二维随机变量 的性质不仅与 且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此， 且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，单独 讨论X和 的性质是不够的 需要把(X,Y)作为一个整 的性质是不够的， 讨论 和Y的性质是不够的，需要把 作为一个整 体来讨论。随机变量X常称为一维随机变量 常称为一维随机变量。 体来讨论。随机变量 常称为一维随机变量。

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一维随机变量X——R1上的随机点坐标； 上的随机点坐标； 一维随机变量 二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标； 上的随机点坐标； 二维随机变量 …… n维随机变量 1,X2,…,Xn)———Rn上的随 维随机变量(X 维随机变量 机点坐标。 机点坐标。 多维随机变量的研究方法也与一维类似， 多维随机变量的研究方法也与一维类似， 分布函数、概率密度函数或分布律来描述其 用分布函数、概率密度函数或分布律来描述其 统计规律。 统计规律。

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二维随机变量的(联合) 2、二维随机变量的(联合)分布函数 定义3.1 是二维随机变量， 定义3.1 设(X,Y)是二维随机变量，二元 是二维随机变量 实值函数 F(x,y)=P({X≤x}∩{Y≤y})=P(X≤x,Y≤y) ≤ ≤ ≤ ≤ x∈(-∞,+∞), y∈(-∞,+∞) ∈∈称为二维随机变量 的分布函数， 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称 与Y 二维随机变量 的分布函数 或称X与 的联合分布函数。 的联合分布函数。 为事件{X≤ 与 ≤ 同时发生的概率 同时发生的概率。 即F(x,y)为事件 ≤x}与{Y≤y}同时发生的概率。 为事件

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几何意义： 几何意义： 若把二维随机变量(X,Y)看成平面上随机点的坐标， 看成平面上随机点的坐标， 若把二维随机变量 看成平面上随机点的坐标 则分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值 在 处的函数值F(x,y)就表示随 则分布函数 处的函数值 就表示随 机点(X,Y)落在区域 落在区域 机点 -∞<X≤ x, -∞<Y≤ y < , < 中的概率。如图阴影部分： 中的概率。如图阴影部分： y (x,y) x

O

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对于(x 对于 1, y1), (x2, y2)∈R2, (x1< x2, y1<y2 ),则随机点 ∈

, , (X,Y)落在矩形区域 1<X≤ x2,y1<Y≤y2]内的概率可用分 落在矩形区域[x ≤ ≤ 内的概率可用分 落在矩形区域 布函数表示为 P(x1<X≤ x2,y1<Y≤y2) ≤ ≤ =F(x2, y2)-F(x1, y2)- F (x2, y1)+F (x1, y1) - - +y y2 (x2, y2)

y1 O x1

(x1, y1)

x2

x

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分布函数F(x, y)具有如下性质：(p54) 具有如下性质： 分布函数 具有如下性质 (1)对任意 y) ∈R2 , 对任意(x, 对任意 0≤ F(x, y) ≤ 1。 ≤ 。

(2)F(x, y)是变量 或y的非降函数，即 是变量x或 的非降函数， 是变量 的非降函数 对任意y∈ 对任意 ∈R, 当x1<x2时，F(x1,y)≤F(x2,y); ≤ ; 对任意x∈R, 当y1<y2时，F(x,y1)≤F(x,y2)。 对任意 ∈ ≤ 。 (3) F ( +∞ , +∞ ) = lim F ( x , y ) = 1 x → +∞ y → +∞

F ( ∞ , ∞ ) = lim F ( x , y ) = 0x → ∞ y → ∞

F ( x , ∞ ) = lim F ( x , y ) = 0 F ( ∞, y ) = lim F ( x, y ) = 0y → ∞x → ∞

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(4)函数 函数F(x,y)关于 是右连续的，关于 也是右连续的， 关于x是右连续的 也是右连续的， 函数 关于 是右连续的，关于y也是右连续的 对任意x∈ , ∈ , 即对任意 ∈R,y∈R,有

F ( x0 + 0, y ) = lim+ F ( x, y ) = F ( x0 , y )x → x0

F ( x, y0 + 0) = lim+ F ( x, y ) = F ( x, y0 )y → y0

(5)对于任意 1, y1),(x2, y2)∈R2,(x1<x2,y1<y2), 对于任意(x 对于任意 ， ∈ , F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0。 - - + ≥ 。 反之，任一满足上述五个性质的二元函数F(x,y)都 反之，任一满足上述五个性质的二元函数 都 可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。 的分布函数。 可以作为某个二维随机变量 的分布函数

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二、二维离散型随机变量及其分布 1、二维离散型随机变量(定义3.2)(p54) 、二维离散型随机变量(定义3.2 3.2) 若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限多 若二维随机变量 的所有可能取值是有限多 对或可列无限多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变 对或可列无限多对，则称 是 量。 2、联合分布律 、联合分布律(p55) 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其所有可能取 是二维离散型随机变量， 是二维离散型随机变量 值为(x , 取数对(x 值为 i,yj),i=1,2,…,j=1,2,…。若(X,Y)取数对 i,yj) , 。 取数对 的概率P(X=xi, Y=yj)=pij,满足 的概率 (1)pij≥0 ;(2)

∑∑ pi =1 j =1

+∞ +∞

ij

=1

则称P(X=xi, Y=yj)=pij ,i=1,2,…,j=1,2,…为二维离散 则称 ， 为 型随机变量(X,Y)的联合分布律或分布律。 的联合分布律或 型随机变量 的联合分布律 分布律。

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二维离散型随机变量的分布律也可用表格 二维离散型随机变量的分布律也可用表格 形式表示为： 形式表示为：Y X

y1 p11 p21...

y2 p12 p22...

... ... ... ... ... ...

yj p1j p2j...

... ... ... ... ... ...

x1 x2...

xi...

pi1...

pi2...

pij...

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袋里有5个编号的球，其中1个球编号为1 例3.2 袋里有5个编号的球，其中1个球编号为1,有2个球编号 均为2 个球编号均为3 每次从中任取两个球， 均为2,有2个球编号均为3。每次从中任取两个球，以X和Y分别 和 分别 表示这两个球中编号最小的号码和最大的号码。 表示这两个球中编号最小的号码和最大的号码。求X和Y的联合 和 的联合 分布律。 分布律。 的全部可能取值为(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3),5个球从 解 (X,Y)的全部可能取值为 的全部可能取值为 ， 个球从 中任取2个 共有C 种取法。 中任取 个，共有 52=10种取法。试验样本点总数为 ， 种取法 试验样本点总数为10,1 1 C1 C 2 2 P( X = 1, Y = 2) = = = 0.2 2 10 C52 C2 1 P( X = 2, Y = 2) = 2 = = 0 .1 C 5 10

1 1 C1 C 2 2 P( X = 1, Y = 3) = = = 0.2 2 10 C51 1 C2C2 4 P ( X = 2, Y = 3) = = = 0.4 2 10 C5

2 C2 1 P( X = 3, Y = 3) = 2 = = 0.1 C 5 10

Y X 1 2 3

2 0.2 0.1 0

3 0.2 0.4 0.1

用表格表示为

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三、二维连续型随机变量及其密度函数 1、定义 、定义(p50) 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 的分布函数为F(x,y), 设二维随机变量 的分布函数为 ， 若存在非负可积函数f( …… 此处隐藏：3825字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……