《线性代数》科学出版社课后参考答案 李国王晓峰2012年七月第一(2)

从而

2 1 1 301 5 2 2

X (A 2I) 1A 2 2 1 110 4 3 2 .

111 014 223

2 2

39 11 1

18(1). A

36 11 391

9 5117

2 1 1 1 1

19(2). A 13 2X 6 474 3 6 4 1 9

220. (A 2I) 1

2 1 1 1 5 2 1 X 24 311 22 2

2 3

第三章 行列式

1(1).

1234

1 4 2 3 2

(2).

aa22bb2

a b2 a b ab(b a)

2(1).

124 12

4031 0

31 1

31

142

2 2

2 2

8 (3).

abcbc

a a

ca

b

baccab

ab

cb

c

bca

a bc a2 b b2 ac c ab c2 3abc a3 b3 c3

3(1).

a1b1c1d1e1ae1a1c12b2c2d2eb1c1d12

ae23b3000 ( 1)5 1

ab2c2d25a0 ( 1)

5 2

ba2c25

a304b4000b300a0a4

05

b5

b4

00c1

d1e1c1 a5 ( 1)4 1b4c2

d2e2 b5 ( 1)4 1a4c2

00

0

4(2).

d1e1d2e20000d1e1d2e20

abbdbf

ac cdcf

ae ef

bb

c cc

e e

11

1 11

11 1

de adfbe abcdef1

111

abcdef0

4abcdef

(3).

02 abcdef20

0220

a2b2c

2

(a 1)2(b 1)2(c 1)

a

2

(a 2)2(b 2)2(c 2)2a2b2c2da2b2c

2

2

(a 3)2(b 3)2(c 3)

2

2

a2 b2c2d2

2

a2b2c2d2a c

2

(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)21(a 2)1(c 2)

(a 3)2(b 3)2(c 3)2(d 3)2

2

d2(d 1)2

2

(d 2)2(d 3)2

(a 2)(c 2)

(a 3)(c 3)

(a 3)(c 3)

2

b2c

2

(b 2)2

2

(b 3)2

2

b21(b 2)2

2

2

(b 3)2

2

d2

a2 b2c

2

(d 2)2(a 3)2(b 3)2(c 3)

2

(d 3)2a2

2a2b2c2d

4a4b4c4d

d21(d 2)2

(a 3)2(b 3)2(c 3)(a 3)2(b 3)2(c 3)

2

2

(d 3)22a2b2c2d

4(a 3)24(b 3)24

(c 3)24(d 3)2

2a2b2c2d

a2 b2c2d2

b2c

2

d2d2(d 3)2(a 3)2(b 3)2(c 3)

2

d2(d 3)2

a21a2

b21b2c

2

a214a

b214bc

2

a214(a 3)2

b214(b 3)2c2

14

(c 3)2

d214(d 3)2

1c

2

14c

d21d2

a2 b2c

2

(d 3)2a2 b2c

2

d214d46a46b4

6c46d

a2b2c

2

(d 3)22a2b2c2d

49494949

2a2b2c2d

4a24b24

c

2

2a2b2c2d

d24d2d2d2

a214aa2a214a6aa214a9

b214bb214b6bb214b9c

2

14cc

2

b2c

2

14c

6c

c2

14c

9 d214dd2d214d

6dd214d

9

0

a2(a 1)2(a 2)2(a 3)2a22a+14a 46a 9b2(b 1)2(b 2)2(b 3)2b22b+14b 46b 9c2(c 1)2(c 2)2(c 3)2

c22c+1

4c 4

6c 9

d2

(d 1)2

(d 2)2

(d 3)2

d22d+14d 46d 9a

2

2a+126

b22b+126c

2

2c+126 0

d2

2d+126

5(1).

22 40 20004 135 7 10

31 2 3

43 553 5534 8 3 2 4 8 3 2 10

52

5

12

21

12

1

1

0 2

7 10

10 5 2 (35 100) 2 135 270

22 40 22 40 22

404 1355

3 5531 2

03 5

11 7 4

103

222 14 8

2

5

12

0512

051 22

40 22

40

10

3

5

5

1 64204 18 8

10

200 20 10

2110

2

1

1

5 31

22

40 22 40

10

1 64200 20 10

01 6400 10 5

013 700

13

7 22

40 22 4

0

01 641 6400 10 5 000 1 41

00

3

120

3

12

22 4

0

01 6400 1 41 270

135

6(1).

1

n123 n2(n 1)23 n1

2234 12

n(n 1)34 1

3345 2 1

4 2n(n 1)45 2 1

2n(n 1)

n12

n 1 11

2

n(n 1)12 n 11

23 n1

11 1 n1

11 1 n

1

11 1

2

n(n 1)011 1 1

11 1

2

n(n 1)1

01 n1 1

n11

1

3 n4 15 2

2 n 1

111 1 n

1

n(n 1) 111 2

111

1

( 1)nn(n 1)0

2

111

11 1

100 n

1

n(n 1) 100 2

100 100

00 0

00 n00 00

1

n(n 1)1n 1

2 0 n(n 1)( 1)

2

n00

7(2).

证明: 用Dn记等式左边的行列式. 当n 1时,

D1

因此, 当n 1时等式成立.

abba

a2 b2 左边,

假设当n k时等式成立, 即Dk a b

2

2k

. 对于n k 1, 由于

a

ab

Dk 1 a

b0

ba

b0

a

a(2k 1) (2k 1)

0a

ab

( 1)1 2k 2b

bb

ba

b

a0(2k 1) (2k 1)

aDk ( 1)

7(3).

22k 3 2k 1 12

bDk a b Dk a b

2

2

2

2k 1

,

即等式当n k 1时也成立, 则由数学归纳法可知等式成立.

证明一: 用Dn记等式左边的行列式. 当n 1时,

D1 ;

当n 2时,

D2

133

, ( )2

因此, 当n 1和n 2时等式都成立.

假设当n k时等式都成立. 对于n k, 由于

1

Dk ( )Dk 1

0

00

00

00

00

1

(k 1) (k 1)

k k k 1 k 1

( )Dk 1 Dk 2 ( )

k 1 k k k 1 k k k 1 k 1

,

即n k时等式成立, …… 此处隐藏：1193字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……