《线性代数》科学出版社课后参考答案 李国王晓峰2012年七月第一

第一章 矩阵与初等变换

1(3).

x1 3x4 4 x1 3x4 4 2x x x 0 2x x x 0 234234

3x 2x 1 3x 2x 12424 2x1 x2 4x3 5 x2 4x3 6x4 3 x1 3x4 4 x1 3x4 4 7x 13x 6 7x 13x 6 3434 12x3 20x4 8 2x3 6x4 4 x2 4x3 6x4 3 x2 4x3 6x4 3 x1 3x4 4 x1 3x4 4 7x 13x 6 8x 8 344 x3 3x4 2 x3 3x4 2 x2 6x4 5 x2 4x3 6x4 3 x1 3x4 4 x1 1 x 1 x 1 4 2 x3 3x4 2 x3 1 x2 6x4 5 x4 1

2(2).

3 12 2

k114 2 3 12 2 3 12 k114 01 3k14 6k ,

2

当1

2(3).

32

k 0，即k 时方程组有唯一解. 23

k4 11k4 11k4 11

1215 011 k1 011 k1 , 0 31 k 3 002(1 k)0 1 211

当k 1时，方程组有无穷多解，此时方程组的增广矩阵经初等行变换可变成阶梯型矩阵

1114 0101 , 0000

进而经过初等行变换变成矩阵最简型

1013 0101 , 0000

相应的方程组为

x z 3

,

y 1

令z k, 则x k 3, 所以方程组的解为( k 3,1,k), 其中k为任意实数. 5(2).

8 412 7 2022 13 28

39 5 2830 39 5 2830 8 130 96100 13 28

, 5254 001 5254 001

对应的方程组为

x 3y 96w 100

,

z 52w 54

则

x 3y 96w 100

.

z 52w 54

令y k1, w k2, 则x 3k1 96k2 100, z 52k2 54所以, 方程组的解为

3k1 96k2 100, k1, 52k2 54, k2 ,

其中k1, k2为任意实数.

5(3).

21 1 1

2 42

112 2

1

1

21 111 11

21 1 11

22

42 222 22

1 1

21 111 2

00020 00

00000 00

1 1 2 00 00

对应的方程组为

00

12

1210

1 2 0 0

00

12

1 2 10 , 00

0

111 x y z

222, w 0

则

111

x y z

222 w 0

令y k1, z k2, 则x

111

k1 k2 , 所以, 方程组的解为 22211 1 k k , k, k, 01212 ,

22 2

其中k1, k2为任意实数.

6(1).

1 11 1 11 1 11 102 210 03 2 011 011

02 3 00 5 11 2 02 3

齐次线性方程组仅有零解.

7.

1

211 1211 1 1432 0643 0 2 2 3

0 6 21 0当 2时对应的线性方程组有唯一解.

9.

2 9 0( 2)2 9 1

1 2 1

2 0要使方程组有非零解, 须使 2

4 5 0, 即 1, 5.

211 643 , 0 24 2 2

4 5 ,

第二章 矩阵代数

3(2).

1 1 2 2 12 3 3 4 4

3(4).

2

4 6 8

101 1 1

42 3 312 1

031 02 1 1 17 3 1 8 1100 0

6.

证明: 1) 由于B1与B2都与A可交换, 则AB1 B1A, AB2 B2A, 所以,

A B1 B2 AB1 AB2 B1A B2A B1 B2 A, A B1B2 AB1 B2 B1 AB2 B1 B2A B1B2 A,

因此, B1 B2与B1B2都与A可交换.

2) 由于B与A可交换, 则AB BA, 所以,

ABk (AB)Bk 1 (BA)Bk 1 B(AB)Bk 2 B(BA)B

因此, B与A可交换. 7.

证明: 充分性: 设AB BA. 由于A与B都是对称矩阵, 则

k

k 2

B(AB)B

2k 3

BA,

k

AT A, BT B,

所以, (AB) BA BA AB, 由此可知AB是对称矩阵.

必要性: 设AB是对称矩阵. 由于A与B都是对称矩阵, 则

T

T

T

AT A, BT B,

所以, AB (AB) BA BA, 即AB BA.

8.

T

T

T

证明: 令

bij

aij aji

2

, cij

aij aji

2

,

则bij bji, cij cji, 所以B bij 是对称矩阵, 而C cij 为反对称矩阵. 又

aij bij cij, 则A B C, 即任意n阶方阵可以写成一个对称矩阵和一个反对称矩

阵的和.

9.

证明: 设n阶方阵B bij 与A可交换, 则

a1b11

abAB 221

anbn1

a1b12a2b22 anbn2

a1b1n b11a1b12a2 b1nan

baba ba a2b2n 2nn BA 211222,

anbnn baba bannn n11n22

所以, bijai bijaj, 由于ai aj(i j), 则bij 0(i j), 即B是对角矩阵.

10.

解: 由于

1 0AB

0 0

所以, A与B互为可逆矩阵.

12.

证明: 因为

000 100

BA,

010

001

A2 2A 4I A2 2A 3I I (A I)(A 3I) I 0,

所以, (A I)(A 3I) I. 又(A 3I)(A I) I, 因此, A I可逆, 且

(A I) 1 A 3I.

17.

证明: 充分性: 设B I. 由于A

2

1

(B I), 则 2

1111

A2 (B I)2 B2 2B I I 2B I (B I) A.

44421

必要性: 设A A. 由于A (B I), 则

2

2

111

A2 (B I)2 B2 2B I A (B I),

442

所以, B 2B I 2B 2I, 即B I.

18(1).

解: 由于

2

2

22 1100 1 24010

[A,I] 1 24010 22 1100

2001 2001 58 58

010 1 24010 1 24

06 91 20 06 91 20 311 018 180 51 009

1 24

3 06

2

001

101

010

113 0 01

632

111

001

399

1

9 1

, 6 1 9

0 1 0

3

111

399 1316

13

22

100 39

11

010 36 11 001 39

所以,

2 2

39 11

A 1

36 11 39

18(3).

解: 由于

1 9 1

. 6 1 9

10010 223100 1

[A,I] 1 10010 223100

121001 121001

0 1 10010 1 1001

0431 20 011011 011011 0431 20 101021 1001 4 3 011011 0101 5 3 00 11 6 4 00 11 6 4 4 3 1001 0101 5 3 , 4 001 16

所以,

1 4 3

A 1 1 5 3 .

164

19(2). 解一: 令

021

123 . A 2 13, B 2 31 33 4

02

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