第8章信号奇异性检测和图象边缘提取(2)

{d0 , d1 , dn } ,则计算它的奇异性的主 则计算它的奇异性的主

log 2 Wf ( s, u ) 作为 2s的函数沿着收敛 作为log 的函数沿着收敛

的极大曲线的最大斜率,, 于 v的极大曲线的最大斜率,,该斜率为 α + 1/ 2 ,从而求出 的极大曲线的最大斜率,,该斜率为 问题: 通过实验搞清楚具体的计算过程!(习题8.2) !(习题 问题: 通过实验搞清楚具体的计算过程!(习题 )

α

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连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测阶梯型边界点的提取 : 满足Lipschitz 满足

α =0

的点属于一种特殊的奇异点, 的点属于一种特殊的奇异点,这种点对应信号

的不连续点或称为阶梯型边界,是一类重要的边界点. 的不连续点或称为阶梯型边界,是一类重要的边界点.记 称为阶梯型边界

Ws f ( u ) = ( f ψ s ) ( u )

Wf ( s, u ) = s1/ 2Ws f ( u )对应式( ), ),有 对应式(8.4),有

Ws f ( u ) ≤ Asα

这表明,对于阶梯型边界 ,沿着收敛于v点的极大曲线上的点 点的极大曲线上的点u,其模 这表明,对于阶梯型边界v,沿着收敛于 点的极大曲线上的点 其模 极大值都小于A. 极大值都小于 .从而

Ws f ( v ) ≤ A

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连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测阶梯型边界点的提取 : 下面将证明,当 v是阶梯型边界点时, s 下面将证明, 是阶梯型边界点时, W 非零常数. 非零常数.

f (v)

是一个与尺度s 是一个与尺度s无关

1, e (t ) = 0,

t≥v t<v

Ws f ( v ) = ∫ ψ ( t )dt0

+∞

即在不同的尺度

s1 , s2 , , sJ

W 下, s1 f ( v ) ,Ws 2 f ( v ) , ,WsJ f ( v )

是一个相同的非零常数.

Ws j f ( v ) Wsl f ( v )

≈1

1 Ws j f ( v ) ≤ ≤r r Wsl f ( v )

j , l = 1, 2, , J

r是一个大于 但非常接近于 的一个实数 是一个大于1但非常接近于 但非常接近于1的一个实数

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连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测算法: 阶梯型边界点的提取 算法: 1)即在不同的尺度

s1 , s2 , , sJ

下,

计算 Ws1 f ( v ) ,Ws 2 f ( v ) , ,WsJ f ( v ) ,

2)对于阈值T>0, 及r>1且非常接近1,如果 )对于阈值T>0, r>1且非常接近 且非常接近1 T>0

Ws j f ( v ) ≥ T ,

j = 1, 2, , J

1 Ws j f ( v ) ≤ ≤r r Wsl f ( v )则v是检测出的信号的阶梯型边界点. 是检测出的信号的阶梯型边界点.

j , l = 1, 2, , J

请大家构造一个具有若干不连续点的边界点, 请大家构造一个具有若干不连续点的边界点,验证上述算法的有效性 (习题 习题8.1 ).也可结合习题 进行实验. 进行实验. 习题 .也可结合习题8.2进行实验

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从二进小波模极大重构信号问题的提出与研究现状: 问题的提出与研究现状:

问题:二进小波变换模极大究竟携带了信号的多少信息? 问题:二进小波变换模极大究竟携带了信号的多少信息?它能否给 出信号的一个完备而稳定的表示?也即, 出信号的一个完备而稳定的表示?也即,能否由所有模极大 Wf 2 j , u的位置 u j , p 研究现状: 研究现状: 1)实验数值表明,交错投影法等算法只能以10-2的级相对均方误差近似 实验数值表明,交错投影法等算法只能以10 地重构信号. 地重构信号. 2)目前已证明,对于一般的二进小波,从二进小波变换模极大精确 目前已证明,对于一般的二进小波, 重构信号是不可能的. 重构信号是不可能的. 3)当信号的Fourier变换是带通的,并且小波的Fourier变换具有紧 当信号的Fourier变换是带通的,并且小波的Fourier变换具有紧 Fourier变换是带通的 Fourier 支撑时, 支撑时,二进小波变换模极大可以给出信号的一个完备而稳定的表 示.

{ }

和小波变换 Wf

(2 ,u )j j, p

(

)

完全重构原信号? 完全重构原信号?

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从二进小波模极大重构信号一种重构信号的快速算法: 一种重构信号的快速算法: 1. 问题描述 已知 Wf 2 j , u

(

)

对应的局部极大点为 u j , p

{ }

p

,小波系数为

Wf ( 2 j , u j , p ) = f ,ψ j , p设 ψ ′ 表示

ψ

t u j, p ψ j, p (t ) = ψ j 2j 2 1

的导数, 的导数,则有

Wf (2 j , u j , p ) u1), ), ) ),2), ), ),3)

= 2 j f ,ψ ′j , p = 0,它满足以下条件: 它满足以下条件:

则我们的问题是:重构一个近似函数 f 我们的问题是:

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从二进小波模极大重构信号一种重构信号的快速算法: 一种重构信号的快速算法: 2. 求解方法 求解方法——共轭梯度法 共轭梯度法 设

V

是由 ψ j , p ,ψ ′ , p j

{

r ∈ V , Lr = ∑ r ,ψ j , p ψ j , p + r ,ψ ′j , p ψ ′j , pj, p

(

}

生成的线性空间, 算子: 生成的线性空间,则对于如下 L算子: 算子j, p

)

可得, 可得,

f = L1w

,其中

w = Lf = ∑j, p

(

f ,ψ j , p ψ j , p + f ,ψ ′j , p ψ ′j , p = ∑ f ,ψ j , p ψ j , pj, p

)

如下共轭梯度法定理8.3可通过递归过程计算重构函数 如下共轭梯度法定理8.3可通过递归过程计算重构

函数 f ,而且它 8.3 具有指数级收敛性. 具有指数级收敛性.