第8章信号奇异性检测和图象边缘提取

孙延奎 机械工业出版社

小波分析及其工程应用----清华大学计算机系---孙延奎---2005春

第8章 小波在信号奇异性检测及图象 章 边缘提取中的应用信号 函数奇异性的定量描述 信号/函数奇异性的定量描述 信号 连续小波变换的模极大值与信号多尺度边界检测 连续小波变换的模极大值与信号多尺度边界检测 连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测 连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测 从二进小波模极大重构信号 二维小波变换模极大与图象多尺度边缘提取 二维小波变换模极大与图象多尺度边缘提取

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简介 简介 函数光滑性与奇异性的定义 奇异性点的重要性 传统检测方法的缺点 小波变换检测方法的可行性及有效性 本章的主要内容

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用Lipschitz指数刻画信号的奇异性称函数 f 在点 v ∈ R 为Lipschitz 和 m = α 次多项式

α ≥0

,如果存在常数 K v > 0

pv

,使得α

t ∈ R, f ( t ) pv ( t ) ≤ K v t v

(8.1)

称函数 f 在区间 [ a, b] 上是一致 LipschitzK >0

使得( ) 使得(8.1)对所有的 v ∈

[ a, b ]

α ≥0

的,如果存在常数

成立, 成立,其中 K 与

v

无关. 无关.

函数在一点的Lipschitz指数 指数: 函数在一点的 指数 连续可微,或者可微 或者可微, 如果函数 f 在点 v ∈ R 连续可微 或者可微,而导数有界但不连续时 ,

f 在该点的 点不连续但有界时,其 指数为0. 在该点的Lipschitz指数为 指数为1. 在 v 点不连续但有界时 其 Lipschitz指数为 指数为 指数为

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用Lipschitz指数刻画信号的奇异性指数小于1,则称它在该点是奇异的. 指数小于 则称它在该点是奇异的 如果函数 f 在点 v ∈ R 的Lipschitz指数小于 则称它在该点是奇异的 如果函数 f 在点

v 的Lipschitz指数 指数

α0f(n)

满足 n < α 0 < n + 1 ,则

f 在该点 是n次可微的,但其 阶导数 次可微的, 次可微的 但其n阶导数Lipschitz指数为 指数为

( t ) 在点

v

是奇异的, 是奇异的,它的

α 0 n ,我们也说 α 0 描述了这个奇异性. 描述了这个奇异性.的范围. 1 ≤ α < 0 的范围.

Lipschitz指数还可以扩展到 指数还可以扩展到

噪声的Lipschitz指数为负数 指数为负数. 噪声的 指数为负数

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连续小波变换的模极大值与信号多尺度边界检测 平滑函数及多尺度边缘点

θ (t )

θs (t ) = θ s s

1 1

一个函数 f 在尺度

s 下的边缘定义为 f θ ( t )s

的局部突变点. 的局部突变点.

小波变换模极大用于信号多尺度边缘检测的可行性

ψ ( t ) = dθ ( t ) / dtWf ( s, u ) = s1/ 2 f ψ s ( u ) = s1/ 2f f θ

d ( f θ s ) ( u ) du

(t )s

(t )

W f (s,u )

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连续小波变换的模极大值与信号多尺度边界检测 小波变换模极大值,模极大点 与极大曲线 (定义 ) 小波变换模极大值, 定义8.2) 信号的边界点 假设 T > 0 是一个阈值,在尺度

s0 > 0 下,则满足以下两个 条件的点

u0

称为信号在尺度

s0

下的边界点:

Wf ( s0 , u0 ) ≥ TWf ( s0 , u ) 在 u0 点取得局部极大值. 点取得局部极大值. 离散小波系数序列模极大值的定义 对于离散的小波变换序列 Wf ( s, 0), Wf ( s,1), , Wf ( s, n) 如果:Wf ( s, m ) ≥ Wf ( s, m 1) Wf ( s, m ) ≥ Wf ( s, m + 1)

且两式中不能同时取等号. 且两式中不能同时取等号.

则称在m点取得模极大值. 则称在 点取得模极大值. 点取得模极大值

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连续小波变换的模极大值与信号多尺度边界检测 确定边界点的算法过程 已知输入信号 {d 0 , d1 , d n } 步骤1, 步骤 ,计算连续小波变换

Wf ( s, 0), Wf ( s,1), , Wf ( s, n)m = 0,1, , n ,如果以下条件满足: 如果以下条件满足:

步骤2, 步骤 ,确定阈值 T > 0 ,对

Wf ( s, m) ≥ T点取得模极大值. 点取得模极大值 Wf ( s, m) 在 m点取得模极大值. 点就是信号在尺度s下的一个边界点 则m点就是信号在尺度 下的一个边界点. 点就是信号在尺度 下的一个边界点.

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连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测基本原理: 基本原理 阶消失矩小波的小波变换的特性: n阶消失矩小波的小波变换的特性: 阶消失矩小波的小波变换的特性 则在v 设 f ( t ) 在v点的Lipschitz 指数为 α ,则在 点的某邻域内 可以用 则在 点的某邻域内,f 多项式

pv

做如下逼近: 做如下逼近α

f ( t ) = pv ( t ) + ε v ( t ) , 其中 ε v ( t ) ≤ K t v

是具有n 阶消失矩的小波,则容易推出 则容易推出: 设 ψ ( t ) 是具有 ( n > α ) 阶消失矩的小波 则容易推出

Wf ( s, u ) = Wpv ( s, u ) + W ε v ( s, u ) = W ε v ( s, u )也即小波变换可以刻画信号在奇异点的奇异性质. 也即小波变换可以刻画信号在奇异点的奇异性质 人们已从理论上证明, 人们已从理论上证明,小波变换模 Wf ( s, u ) 在v点的邻域中在细尺度下的 点的邻域中在细尺度下的 衰减性能够刻画函数f在点 的局部 衰减性能够刻画函数 在点v的局部 在点 的局部Lipschitz正则性 . 正则性

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连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测基本原理: 基本原理 阶消失矩的小波与一个平滑函数的导数 n阶消失矩的小波与一个平滑函数的导数之间的关系 阶消失矩的小波与一个平滑函数的导数之间的关系 [教材中参考文献 假设 教材中参考文献1] 教材中参考文献

ψ 是快速衰减的,即对任意衰减指数 m 是快速衰减的,Cm 1+ tm

(正整数),存在常数Cm使得 t ∈ R, ψ ( t ) ≤ 正整数),存在常数 ),存在常数 小波

,则快速衰减的 则

ψ

具有n阶消失矩,当且仅当存在快速衰减的函数 具有n阶消失矩,当且仅当存在快速衰减的函数 阶消失矩 存在

θ

,使得

ψ ( t ) = ( 1) θ ( n ) ( t )n

由此可以推出,如果 恰好具有n阶消失矩并且是

紧支撑 则一定 阶消失矩并且是紧支撑的 由此可以推出 如果 ψ 恰好具有 阶消失矩并且是紧支撑的,则一定(n) 存在紧支撑的函数 存在紧支撑的函数 θ ,使得 ψ ( t ) = ( 1) θ ( t ) 且 使得n

∫

+∞

∞

θ ( t ) dt ≠ 0

问题:在什么条件下 问题 在什么条件下, 在什么条件下

构成平滑函数?Mallat原著中是否指平滑函数 原著中是否指平滑函数? 原著中是否指平滑函数 θ 构成平滑函数 如果小波还是对称小波,能否保证 构成平滑函数? 如果小波还是对称小波 能否保证 θ 构成平滑函数

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连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测基本原理: 基本原理 的衰减性可以由其局部极大值控制. Mallat等进一步分析发现 Wf ( s, u ) 的衰减性可以由其局部极大值控制. 等进一步分析发现, 等进一步分析发现 定理 8.1(HWANG,MALLAT) 设n>0,θ ( t ) 平滑函数 ( ) ,

ψ

紧支的n次连续可微的小波函数 紧支的 次连续可微的小波函数 , ψ = ( 1) …… 此处隐藏：3542字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……