毕业设计论文电力系统潮流计算(3)

牛顿-拉夫逊法是解非线性方程式的有效方法。牛顿拉夫逊法潮流计算是目前最为广泛、效果最好的一种潮流计算方法。这种把非线性方程式的求解过程变成反复对相应的线性方程式的求解过程，即逐次线性化过程，这就是牛顿法的核心。我们以如下非线性方程式的求解过程为例来说明：

f(x) 0 （3-1）

设x(0)为该方程式的初值。而真正解x在它的近旁：

x x(0) x(0) （3-2） 式中： x(0)为初始值x(0)的修正量。如果求得 x(0)，则由式（3-2）就可以得到真正解x。 为此将式

f(x(0) x(0)) 0 （3-3）

按泰勒级数展开

(0)2(0)n

))(0)(0)(0)'(0)(0)''(0)( x(n)(n)(0)( xf(x x) f(x) f(x) x f(x) ( 1)f(x) 02!n! （3-4）

当我们选择的初始值比较好，即 x(0)很小时，式（3-4）中包含的( x(0))2和更高阶次项可以略去不计。因此，式（3-4）可以简化为

f(x(0)) f'(x(0)) x(0) 0 （3-5）

这是对于变量 x(0)的形式方程式，用它可以求出修正量 x(0)。

由于式（3-5）是式（3-4）的简化结果，所以由式（3-5）解出 x(0)后，还不能得到方程式（3-1）的真正解。实际上，用 x(0)对x(0)修正后得到的x(1)：

x(1) x(0) x(0) （3-6） 只是向真正解更逼近一些。现在如果再以作为初值x(1)，解式（3-5） f(x(1)) f'(x(1)) x(1) 0 就能得到更趋近真正解的x(2)：

x(2) x(1) x(1) （3-7）

这样反复下去，就构成了不断求解非线性方程式的逐次线性化过程。第t次迭代

时的参数方程为

f(x(t)) f'(x(t)) x(t) 0 （3-8）或f(x(t) f'(x(t)) x(t) （3-9）

上式左端可以看成是近似解x(t)引起的误差，当f(x(t)) 0时，就满足了原方程式（3-1），因而x(t)就成为该方程的解。式中f'(x(t))是函数f(x) 0 在x(t)点的一次导数，也就是曲线在x(t)点的斜率，如图（3-1）所示，修正量 x(t)则是由x(t)点的切线与横轴的交点来确定，由图（3-1）可以直观的看出牛顿法的求解过程。

图3-1 牛顿-拉夫逊法几何解释

现在把牛顿法推广到多变量非线性方程组的情况。设有变量x1,x2 xn的非线性联立方程组：

f1(x1,x2, ,xn) 0

f2(x1,x2, ,xn) 0

fn(x1,x2, xn) 0

（3-10）

给定各变量初值x1,x2, ,xn

(0)(0)(0)

，假设 x1, x2, , xn

(0)(0)(0)

为其修正量，并使

其满足

(0)(0)

f1(x1(0) x1(0),x2 x2, ,xn(0)f2(x1(0) x1(0),x2

(0)

xn) 0

(0)(0)(0)

x2, ,xn xn) 0

（3-11）

(0)(0)(0)

x2, ,xn xn) 0

(0)

(0)

(0)

(0)

(0)

fn(x1(0) x1(0),x2

对以上n个方程式分别按泰勒级数展开，当忽略 x1, x2, , xn二次项和高次项时，可以得到

所组成的

f1 f1 f1(0)(0)(0)

f1(x,x, ,x) x1 x2 xn 0

x20 xn0 x10

f f f (0)(0)(0)(0)

f2(x1(0),x2, ,xn) 2 x1(0) 2 x2 2 xn 0

x x x （3-12） 10 20n0

f f f(0)(0)(0)(0)

fn(x1(0),x2, ,xn) n x1(0) n x2 n xn 0

x20 xn0 x10

(0)

1

(0)2

(0)n

式中：

(0)

fi xi

(0)

为函数fi(x1,x2, ,xn)对自变量xj的偏导数在点

（ x1, x2, , xn

(0)

）处的值。把上式写成矩阵形式：

f1 f1

x x2n000 (0)

x1

f2 f (0)

2 x2

（3-13） x x2n000

(0) xn

fn fn

x20 xn0 0

f1

x1(0)(0)(0)

f1(x1,x2, ,xn) f2

(0)(0)(0)

f(x,x, ,x) 21 x2n 1

(0)(0)(0)

fn(x1,x2, ,xn)

fn x1

这是变量 x1, x2, , xn可以解出

x1, x2, , xn

(0)

(0)

(0)

(0)(0)(0)

的线性方程组，称为牛顿法的修正方程，通过它

，并可以进一步求得

x1(1) x1(0) x1(0)

(1)(0)(0)

x2 x2 x2

（3-14）

(1)(0)(0) xn xn xn

式中x1,x2, ,xn向真正解逼近了一步，如果再以它们作为初值重复解式（3-13）修正方程式，等到更接近真解的x1,x2, ,xn，如此迭代下去，并按式（3-14）进行修正，直到满足收敛要求为止并停止迭代计算，这就构成了牛顿法的迭代过程。

一般第t次迭代式的修正方程为

f1 x1(t)(t)(t)

f1(x1,x2, ,xn) f2

(t)(t)(t)

f2(x1,x2, ,xn) x 1

(t)(t)(t)

fn(x1,x2, ,xn)

fn x1

上式可以简写为

f1 f1

x x2tnt t(t)

x1

f2 f (t)

2 x2

（3-15） x x 2nttt

(t) xn

fn fn

x xnt 2tt

(2)

(2)

(2)

(1)(1)(1)

F(X(t)) J(t) X(t) (3-16)

其中

f1

x1 f2 x1 fn x1

f1 f1

x x2tnt t

f2 f2

x2t xnt t

fn fn

x xnt 2tt

(t)(t)

f1(x1(t),x2, ,xn) (t)(t)(t)f(x,x, ,x) ，J(t)212n

F(X(t))

(t)(t)(t)

fn(x1,x2, ,xn)

其中的J(t)为第t次迭代时的雅克比矩阵； 同理可以得到第t次迭代时的修正量：

x1(t)

(t) x2

（3-17）

(t) xn

X(t)

同样，也可以写出类似（3-14）的算式

X(t 1) X(t) X(t) （3-18）

这样反复交替的解式（3-16）及式（3-18）就可以使X(t 1)逐步趋近方程式的真正解。当满足人为收敛条件时，即

(t)(t)

maxfi(x1(t),x2, ,xn 1或max xi(t) 2 （3-19）

迭代结束，式中 1, 2为预先给定的小正数。

3.3 牛顿法潮流计算方程

3.3.1节点功率方程

电力系统的负荷习惯用功率表示，对于有n个节点的电力系统，系统中各节

点注入电流与注入功率以标幺值表示的关系为

SI

i

(Pi jQi)*

Ui

*

i=1，2， ，n （3-20）

式中 表示其共轭复数。将此关系式代入节点电压方程的通式，可得到以节点注

入功率表示的节点电压方程:

(Pi jQi)

i

(3-21) YijUj

j 1

n

上述的方程式，通常称为功率方程。根据方程中的节点电压向量表示的不同，

可以得到不同形式的功率方程。 若节点电压 …… 此处隐藏：2340字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……