同济大学第六版高等数学上册课后答案全集(3)

x→01 x1 x

5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:

x→x0x→x0+x→x0

f(x)→A ε>0, δ>0,使当0<|x x0|<δ时,有恒|f(x) A|<ε.

f(x)→∞f(x)→+∞f(x)→ ∞

x→∞x→+∞x→ ∞

ε>0, X>0,使当|x|>X时,有恒|f(x)|>M.

解

f(x)→A ε>0, δ>0,使

x→x0当0<|x x0|<δ时,

有恒|f(x) A|<ε. ε>0, δ>0,使

x→x0+当0<x x0<δ时,

有恒|f(x) A|<ε. ε>0, δ>0,使

x→x0 当0<x0 x<δ时,

有恒|f(x) A|<ε. ε>0, X>0,使

x→∞当|x|>X时,有恒

|f(x) A|<ε.

ε>0, X>0,使

x→+∞当x>X时,有恒

|f(x) A|<ε.

ε>0, X>0,使

x→ ∞当x< X时,有恒

|f(x) A|<ε.f(x)→∞ M>0, δ>0,使当0<|x x0|<δ时,有恒|f(x)|>M. M>0, δ>0,使当0<x x0<δ时,有恒|f(x)|>M. M>0, δ>0,使当0<x0 x<δ时,有恒|f(x)|>M. ε>0, X>0,使当|x|>X时,有恒|f(x)|>M.

ε>0, X>0,使当x>X时,有恒|f(x)|>M.

ε>0, X>0,使当x< X时,有恒|f(x)|>M.f(x)→+∞ M>0, δ>0,使当0<|x x0|<δ时,有恒f(x)>M. M>0, δ>0,使当0<x x0<δ时,有恒f(x)>M. M>0, δ>0,使当0<x0 x<δ时,有恒f(x)>M. ε>0, X>0,使当|x|>X时,有恒f(x)>M.

ε>0, X>0,使当x>X时,有恒f(x)>M.

ε>0, X>0,使当x< X时,有恒f(x)>M.f(x)→ ∞ M>0, δ>0,使当0<|x x0|<δ时,有恒f(x)< M. M>0, δ>0,使当0<x x0<δ时,有恒f(x)< M. M>0, δ>0,使当0<x0 x<δ时,有恒f(x)< M. ε>0, X>0,使当|x|>X时,有恒f(x)< M.

ε>0, X>0,使当x>X时,有恒f(x)< M.

ε>0, X>0,使当x< X时,有恒f(x)< M.

6.函数y=xcosx在( ∞,+∞)内是否有界？这个函数是否为当x→+∞时的无穷大？为什么？

解函数y=xcosx在( ∞,+∞)内无界.

这是因为 M>0,在( ∞,+∞)内总能找到这样的x,使得|y(x)|>M.例如

y(2kπ)=2kπcos2kπ=2kπ(k=0,1,2, ),

当k充分大时,就有|y(2kπ)|>M.

当x→+∞时,函数y=xcosx不是无穷大.

这是因为 M>0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有|y(x)|>M.例如

y(2kπ+π=(2kπ+π)cos(2kπ+π=0(k=0,1,2, ),

222

对任何大的N,当k充分大时,总有x=2kπ+π>N,但|y(x)|=0<M.

7.证明:函数y=11在区间(0,1]上无界,但这函数不是当x→0+时的无穷

大.

证明函数y=1sin1在区间(0,1]上无界.这是因为 M>0,在(0,1]中总可以找到点xk,使y(xk)>M.例如当

xk=1(k=0,1,2, )

2kπ+2

时,有

y(xk)=2kπ+π,

当k充分大时,y(xk)>M.

当x→0+时,函数y=1sin1不是无穷大.这是因为

M>0,对所有的δ>0,总可以找到这样的点xk,使0<xk<δ,但y(xk)<M.例如可取

xk=1(k=0,1,2, ),

2当k充分大时,xk<δ,但y(xk)=2kπsin2kπ=0<M.习题1 5

1.计算下列极限:

2x+5;(1)lim

x→2x 3

22解lim== 9.x→2x 32 3

2

x(2)lim 3;x→x+1

2 3()2 3x解lim2==0.x→x+1()2+12

2x+1;(3)limx 2x→1x 1

2(x 1)2x 2x+1x 1=0=0.解lim=lim=limx→1x2 1x→1(x 1)(x+1)x→1x+12

32;(4)lim

x→03x2+2x

3224x 2x+x4x 2x+1=1.解lim=limx→03x2+2xx→03x+22

(x+h)2 x2(5)lim;h→0h

222(x+h)2 x2解lim=lim=lim(2x+h)=2x.h→0h→0h→0hh(6)lim(2 1+12;x→∞xx

解lim(2 1+1=2 lim1+lim1=2.

x→∞x→∞x→∞xx

(7)lim

x2 1;x→∞2x2 x 1

2

1 12

x 1=lim=1.解lim

x→∞2x x 1x→∞

2 2xx

2;(8)lim42

x→∞x 3x 1

2

x=0(分子次数低于分母次数,极限为零).解limx+x→∞x 3x 1

1+1

2x=lim23=0.或lim4x+2

x→∞x 3x 1x→∞

1 2 1xx

2

(9)limx 6x+8;x→4x 5x+4

2(x 2)(x 4)x解lim 6x+8=lim=limx 2=4 2=2.x→4x 5x+4x→4(x 1)(x 4)x→4x 14 13

(10)lim(1+12 12;

x→∞x

解lim(1+1)(2 12=lim(1+1 lim(2 12=1×2=2.

x→∞x→∞xxx→∞xx(11)lim(1+1+1+ +1);

n→∞2