同济大学第六版高等数学上册课后答案全集(2)

(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？解(1)当0≤x≤100时,p=90.

令0.01(x0 100)=90 75,得x0=1600.因此当x≥1600时,p=75.当100<x<1600时,

p=90 (x 100)×0.01=91 0.01x.综合上述结果得到

90 0≤x≤100

p= 91 0.01x 100<x<1600. 75 x≥1600

30x 0≤x≤100

2(2)P=(p 60)x= 31x 0.01x 100<x<1600.

15x x≥1600 (3)P=31×1000 0.01×10002=21000(元)

.

习题1 2

1.观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势,写出它们的极限:(1)xn=1;

2

解当n→∞时,xn=1→0,lim1=0.n→∞22(2)xn=( 1)n1;

n

解当n→∞时,xn=( 1)n1→0,lim( 1)n1=0.

n→∞(3)xn=2+1;

n

解当n→∞时,xn=2+12→2,lim(2+12=2.

n→∞nn

(4)xn=n 1;

+1

解当n→∞时,xn=n 1=1 2→0,limn 1=1.

n→∞n+1n+1n+1

(5)xn=n( 1)n.

解当n→∞时,xn=n( 1)n没有极限.

cos.问limx=?求出N,使当n>N时,xn与其2.设数列{xn}的一般项xn=

n→∞nn

极限之差的绝对值小于正数ε,当ε=0.001时,求出数N.

解limxn=0.

n→∞

|cos|1

≤. ε>0,要使|xn 0|<ε,只要1<ε,也就是n>1.取|xn 0|=

nnnε

N=1,

则 n>N,有|xn 0|<ε.

当ε=0.001时,N=1=1000.

3.根据数列极限的定义证明:(1)lim12=0;n→∞n

分析要使|12 0|=12ε,只须n2>1,即n>1.

εnn证明因为 ε>0, N=[1,当n>N时,有|1 0|<ε,所以lim1=0.

n→∞nn(2)lim3n+1=3;n→∞2n+12

分析要使|3n+1 3|=1<1<ε,只须1<ε,即n>1.

2n+122(2n+1)4n证明因为 ε>0, N=[1,当n>N时,有|3n+1 3|<ε,所以lim3n+1=3.

n→∞2n+12(3)lim

n→∞

+a1;

22+a22+a2 n22aa分析要使| 1|==<<ε,只须n>.

22εnnn(n+a+n)n222

证明因为 ε>0, N=a,当 n>N时,有|+a 1|<ε,所以

εn→∞

lim

2+a2=1.

(4)lim0.999 9=1.n→∞14243

n个

1<ε,只须1<ε,即n>1+lg1.

1010 1

证明因为 ε>0, N=[1+lg1,当 n>N时,有|0.99 9 1|<ε,所以

lim0.999 9=1.n→∞14243

分析要使|0.99 9 1|=

n个

4.limun=a,证明lim|un|=|a|.并举例说明:如果数列{|xn|}有极限,但数列

n→∞

n→∞

{xn}未必有极限.

证明因为limun=a,所以 ε>0, N∈N,当n>N时,有|un a|<ε,从而

n→∞

||un| |a||≤|un a|<ε.

这就证明了lim|un|=|a|.

n→∞

数列{|xn|}有极限,但数列{xn}未必有极限.例如lim|( 1)n|=1,但lim( 1)n不

n→∞

n→∞

存在.

5.设数列{xn}有界,又limyn=0,证明:limxnyn=0.

n→∞

n→∞

证明因为数列{xn}有界,所以存在M,使 n∈Z,有|xn|≤M.

又limyn=0,所以 ε>0, N∈N,当n>N时,有|yn|<ε.从而当n>N时,有n→∞|xnyn 0|=|xnyn|≤M|yn|<M ε=ε,

所以limxnyn=0.

n→∞

6.对于数列{xn},若x2k 1→a(k→∞),x2k→a(k→∞),证明:xn→a(n→∞).

证明因为x2k 1→a(k→∞),x2k→a(k→∞),所以 ε>0, K1,当2k 1>2K1 1时,有|x2k 1 a|<ε; K2,当2k>2K2时,有|x2k a|<ε.

取N=max{2K1 1,2K2},只要n>N,就有|xn a|<ε.因此xn→a(n→∞).

习题1 3

1.根据函数极限的定义证明:

(1)lim(3x 1)=8;

x→3

分析因为

|(3x 1) 8|=|3x 9|=3|x 3|,

所以要使|(3x 1) 8|<ε,只须|x 3|<1ε.

3

证明因为 ε>0, δ=1ε,当0<|x 3|<δ时,有

3

|(3x 1) 8|<ε,

所以lim(3x 1)=8.

x→3

(2)lim(5x+2)=12;

x→2

分析因为

|(5x+2) 12|=|5x 10|=5|x 2|,

所以要使|(5x+2) 12|<ε,只须|x 2|<1.

证明因为 ε>0, δ=ε,当0<|x 2|<δ时,有

|(5x+2) 12|<ε,

所以lim(5x+2)=12.

x→2

2

(3)limx 4= 4;x→ 2x+2分析因为

x2 4 ( 4)=x2+4x+4=|x+2|=|x ( 2)|,x+2x+22x 4 ( 4)<ε,只须|x ( 2)|<ε.所以要使

x+2

证明因为 ε>0, δ=ε,当0<|x ( 2)|<δ时,有

x2 4 ( 4)<ε,x+22x 4= 4.所以lim

x→ 2x+2

15

3

1 4x(4)lim=2.2x+1x→

2

分析因为

1 4x3 2=|1 2x 2|=2|x ( 1|,31 4x所以要使 2<ε,只须|x ( 1|<1ε.2x+122

证明因为 ε>0, δ=1ε,当0<|x ( 1|<δ时,有

22

1 4x3 2<ε,2x+1

3

所以lim1 4x=2.

x→ 2x+1

2.根据函数极限的定义证明:

3;(1)lim=x→∞2x2分析因为

3 =33=,2x322x32|x|3

3

<ε,只须1<ε,即|x|>1.所以要使2x322|x|证明因为 ε>0, X=1,当|x|>X时,有

3<ε,2x32311+x所以lim=.

x→∞2x32(2)limsinx=0.x→+∞分析因为

sinx 0=|sinx|1.所以要使sinx 0<ε,只须1<ε,即x>12.

ε

证明因为 ε>0, X=1,当x>X时,有

ε

sinx 0<ε,所以limsinx=0.

x→+∞3.当x→2时,y=x2→4.问δ等于多少,使当|x 2|<δ时,|y 4|<0.001？解由于当x→2时,|x 2|→0,故可设|x 2|<1,即1<x<3.要使

|x2 4|=|x+2||x 2|<5|x 2|<0.001,

只要|x 2|<0.001=0.0002.

取δ=0.0002,则当0<|x 2|<δ时,就有|x2 4|<0.001.

4.当x→∞时,y=x2 1→1,问X等于多少,使当|x|>X时,|y 1|<0.01?

x+3

2x解要使 1 1=4<0.01,只要|x|>4 3=,故X=.

0.01x+3x+3

2

5.证明函数f(x)=|x|当x→0时极限为零.

证明因为

|f(x) 0|=||x| 0|=|x|=|x 0|,

所以要使|f(x) 0|<ε,只须|x|<ε.

因为对 ε>0, δ=ε,使当0<|x 0|<δ,时有

|f(x) 0|=||x| 0|<ε,所以lim|x|=0.

x→0

|x|

6.求f(x)=x, (x)=当x→0时的左﹑右极限,并说明它们在x→0时的极

x限是否存在.

证明因为

lim f(x)=lim x=lim 1=1,x→0x→0x→0

lim+f(x)=lim+x=lim+1=1,x→0x→0xx→0

x→0

limf(x)=lim+f(x),

x→0

所以极限limf(x)存在.

x→0

因为

|x|

=lim x= 1,

x→0x→0xx→0x

|x|

lim+ (x)=lim+=lim+x=1,x→0x→0xx→0xlim (x)=lim

x→0

lim (x)≠lim+ (x),

x→0

所以极限lim (x)不存在.

x→0

7.证明:若x→+∞及x→ ∞时,函数f(x)的极限都存在且都等于A,则

x→∞

limf(x)=A.

证明因为limf(x)=A,limf(x)=A,所以 ε>0,

x→ ∞

x→+∞

X1>0,使当x< X1时,有|f(x) A|<ε; X2>0,使当x>X2时,有|f(x) A|& …… 此处隐藏：3387字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……