同济大学第六版高等数学上册课后答案全集

高等数学第六版上册课后习题答案

第一章

习题1 1

1.设A=( ∞, 5)∪(5,+∞),B=[ 10,3),写出A∪B,A∩B,A\B及A\(A\B)的表达式.

解A∪B=( ∞,3)∪(5,+∞),

A∩B=[ 10, 5),

A\B=( ∞, 10)∪(5,+∞),A\(A\B)=[ 10, 5).

2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:(A∩B)C=AC∪BC.证明因为

x∈(A∩B)C x A∩B x A或x B x∈AC或x∈BC x∈AC∪BC,

所以(A∩B)C=AC∪BC.

3.设映射f:X→Y,A X,B X.证明

(1)f(A∪B)=f(A)∪f(B);(2)f(A∩B) f(A)∩f(B).证明因为

y∈f(A∪B) x∈A∪B,使f(x)=y

(因为x∈A或x∈B)y∈f(A)或y∈f(B)

y∈f(A)∪f(B),

所以f(A∪B)=f(A)∪f(B).

(2)因为

y∈f(A∩B) x∈A∩B,使f(x)=y (因为x∈A且x∈B)y∈f(A)且y∈f(B) y∈

f(A)∩f(B),所以f(A∩B) f(A)∩f(B).

4.设映射f:X→Y,若存在一个映射g:Y→X,使gοf=IX,fοg=IY,其中IX、

IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个x∈X,有IXx=x;对于每一个y∈Y,有IYy=y.证明:f是双射,且g是f的逆映射:g=f 1.

证明因为对于任意的y∈Y,有x=g(y)∈X,且f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,即Y中任意元

素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.

又因为对于任意的x1≠x2,必有f(x1)≠f(x2),否则若f(x1)=f(x2) g[f(x1)]=g[f(x2)] x1=x2.

因此f既是单射,又是满射,即f是双射.

对于映射g:Y→X,因为对每个y∈Y,有g(y)=x∈X,且满足f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.

5.设映射f:X→Y,A X.证明:(1)f 1(f(A)) A;

(2)当f是单射时,有f 1(f(A))=A.

证明(1)因为x∈A f(x)=y∈f(A) f 1(y)=x∈f 1(f(A)),所以f 1(f(A)) A.

(2)由(1)知f 1(f(A)) A.

另一方面,对于任意的x∈f 1(f(A)) 存在y∈f(A),使f 1(y)=x f(x)=y.因为y∈f(A)且f是单射,所以x∈A.这就证明了f 1(f(A)) A.因此f 1(f(A))=A.

6.求下列函数的自然定义域:

(1)y=;

解由3x+2≥0得x> 2.函数的定义域为[ 2, +∞).

33

(2)y=12;

1 x

解由1 x2≠0得x≠±1.函数的定义域为( ∞, 1)∪( 1,1)∪(1,+∞).(3)y=1 x2;

解由x≠0且1 x2≥0得函数的定义域D=[ 1,0)∪(0,1].(4)y=

1; x2

解由4 x2>0得|x|<2.函数的定义域为( 2,2).(5)y=sin;

解由x≥0得函数的定义D=[0,+∞).

(6)y=tan(x+1);

解由x+1≠π(k=0,±1,±2, )得函数的定义域为x≠kπ+π 1 (k=0,±1,±2,

2

).

(7)y=arcsin(x 3);

解由|x 3|≤1得函数的定义域D=[2,4].(8)y=+arctan1;

解由3 x≥0且x≠0得函数的定义域D=( ∞,0)∪(0,3).(9)y=ln(x+1);

解由x+1>0得函数的定义域D=( 1,+∞).(10)

y=e.

解由x≠0得函数的定义域D=( ∞,0)∪(0,+∞).

7.下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx;(2)f(x)=x,g(x)=2;

(3)f(x)=x4 x3,g(x)=x.

(4)f(x)=1,g(x)=sec2x tan2x.解(1)不同.因为定义域不同.

(2)不同.因为对应法则不同,x<0时,g(x)= x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.

|sinx| |x|<3,求 (π, π, ( π, ( 2),并作出函数y= (x)8.设 (x)= 644 0 |x|≥3 的图形.

解 (π=|sinπ=1, =|sin|=, ( =|sin( |=, ( 2)=0.

4424429.试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)y=x,( ∞,1);

1 x(2)y=x+lnx,(0,+∞).

证明(1)对于任意的x1,x2∈( ∞,1),有1 x1>0,1 x2>0.因为当x1<x2时,

y1 y2=

xxx x =<0,1 x11 x2(1 x1)(1 x2)

所以函数y=x在区间( ∞,1)内是单调增加的.

(2)对于任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,有

y1 y2=(x1+lnx1) (x2+lnx2)=(x1 x2)+ln

x<0,x2

所以函数y=x+lnx在区间(0,+∞)内是单调增加的.

10.设f(x)为定义在( l,l)内的奇函数,若f(x)在(0,l)内单调增加,证明f(x)在( l,0)内也单调增加.

证明对于 x1,x2∈( l,0)且x1<x2,有 x1, x2∈(0,l)且 x1> x2.

因为f(x)在(0,l)内单调增加且为奇函数,所以

f( x2)<f( x1), f(x2)< f(x1),f(x2)>f(x1),

这就证明了对于 x1,x2∈( l,0),有f(x1)<f(x2),所以f(x)在( l,0)内也单调增加.

11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间( l,l)上的,证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;

(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.

证明(1)设F(x)=f(x)+g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F( x)=f( x)+g( x)=f(x)+g(x)=F(x),

所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.

如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F( x)=f( x)+g( x)= f(x) g(x)= F(x),

所以F(x)为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.

(2)设F(x)=f(x) g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F( x)=f( x) g( x)=f(x) g(x)=F(x),

所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.

如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F( x)=f( x) g( x)=[ f(x)][ g(x)]=f(x) g(x)=F(x),

所以F(x)为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.

如果f(x)是偶函数,而g(x)是奇函数,则

F( x)=f( x) g( x)=f(x)[ g(x)]= f(x) g(x)= F(x),

所以F(x)为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.

12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数？

(1)y=x2(1 x2);

(2)y=3x2 x3;

2

(3)y=2;

1+x

(4)y=x(x 1)(x+1);(5)y=sinx cosx+1;

x x

(6)y=.

2

解(1)因为f( x)=( x)2[1 ( x)2]=x2(1 x2)=f(x),所以f(x)是偶函数.(2)由f( x)=3( x)2 ( x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数.1 ( x)21 x2

(3)因为f( x)===f(x),所以f(x)是偶函数.1+x1+ x(4)因为f( x)=( x)( x 1)( x+1)= x(x+1)(x 1)= f(x),所以f(x)是奇函数.

(5)由f( x)=sin( x) cos( x)+1= sinx cosx+1可见f(x)既非奇函数又非偶函数.

( x) ( x) xx(6)因为f( x)===f(x),所以f(x)是偶函数.

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13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数,指出其周期:(1)y=cos(x 2);

解是周期函数,周期为l=2π.(2)y=cos4x;

解是周期函数,周期为l=π.

2(3)y=1+sinπx;

解是周期函数,周期为l=2.(4)y=xcosx;

解不是周期函数.

(5)y=sin2x.

解是周期函数,周期为l=π.14.求下列函数的反函数:(1)y=;

解由y=得x=y3 1,所以y=的反函数为y=x3 1.(2)y=1 x;

1+1 y

解由y=1 x得x=,所以y=1 x的反函数为y=1 x.

1+y(3)y=ax+b(ad bc≠0);+ dy+b

解由y=ax+b得x=,所以y=ax+b的反函数为y= dx+b.

cy a(4)y=2sin3x;

y

解由y=2sin3x得x=arcsin,所以y=2sin3x的反函数为y=1arcsinx.

3232(5)y=1+ln(x+2);

解由y=1+ln(x+2)得x=ey 1 2,所以y=1+ln(x+2)的反函数为y=ex 1 2.

x(6)y=.2+1

xxy,22解由y=得x=log2所以y=的反函数为y=log2x.

1 y1 x2+12+1

15.设函数f(x)在数集X上有定义,试证:函数f(x)在X上有界的充分必要条

件是它在X上既有上界又有下界.

证明先证必要性.设函数f(x)在X上有界,则存在正 …… 此处隐藏：4037字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……