研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二(2)

解: 矩阵A的特征多项式为

4

3

2

1

fA( ) I A 2 5 7,

则

A2 2A 7I O,

而

4 5 3 6 2 6 8 ( 2 5 7)( 2 1) 1,

故

1

1 1 1 21

(A4 5A3 6A2 6A 8I) 1 (A I) 1 . 12 113

10.已知3阶矩阵A的三个特征值为1，－1，2，试将A表示为A的二次式. 解: 矩阵A的特征多项式为

2n

fA( ) I A ( 1)( 1)( 2),

则设

2n f( )g( ) a 2 b c,

由f(1) 0,f( 1) 0,f(2) 0,得

a b c 1,

a b c 1, 4a 2b c 22n.

解之，得

11

a (22n 1),b 0,c (22n 4),

33

因此

11

A2n aA2 bA cI (22n 1)A2 (22n 4)I.

33

11.求下列矩阵的最小多项式：

31 1 4 22

（2） 57 5 ； （1）020；

111 67 4

（3）n阶单位阵In；（4）n阶方阵A，其元素均为1；

a0

a1

（5）B

a2 a3

a1a0a3 a2

a2 a3a0a1

a3 a2 . a1 a0

31 1 解:(1) 设A 020,则 111

1 100 3 1

0 2 ,

I A 0 200

2

1 1 0( 2) 1 0

故该矩阵的最小多项式为( 2).

2

4 22 (2) 设A 57 5,则 67 4

I A ( 2)( 2 5 11),

故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为( 2)( 5 11)

(3) n阶单位阵In的最小多项式为m( ) 1. (4) 因为

2

I A n 1( n),

又A nA,即A nA O,故该矩阵的最小多项式为 ( n).

(5)因为

2222

I B [ 2 2a0 (a0 a12 a2 a3)],

22222

而m( ) 2a0 (a0 a1 a2 a3)是 I B的因子,经检验知m( )是矩

22

阵B的最小多项式.