研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二

1．化下列矩阵为Smith标准型：

1 （1）

1 2 2

; 2 2

00

00

（2）

0( 1)2 2

0

2

2

00

0 ; 0 0

3 2 2 32 1 2 2 3 （3） 4 2 3 53 2 2 3 4 ;

2 4 2 1

301 2 4 3 60 22 (4) 06 2 0 . 10 100 00 3 31 2 2

解：（1）对矩阵作初等变换

1 1 2

2

1 2 1 2 2

0 0 c c r r

1 2 2 00 ( 1) 2 2

1

3

3

1

10

c2 c1 0 c3 c1

00 10

c3 c2 0 r1 ( 1)

( 1) 00

1

；

( 1)

0 ， ( 1)

则该矩阵为Smith标准型为

（2）矩阵的各阶行列式因子为

D4( ) 4( 1)4,D3( ) 2( 1)2,D2( ) ( 1),D1( ) 1,

从而不变因子为

d1( ) 1,d2( )

D2( )D( )D( )

( 1),d3( ) 3 ( 1),d4( ) 4 2( 1)2

D1( )D2( )D3( )

故该矩阵的Smith标准型为

000 1 0 ( 1) 00 ； 0 0 ( 1)0 22 000 ( 1)

（3）对矩阵作初等变换

3 2 2 32 1 2 2 3 c c 3 2 22 1 2 2

2 c13 c32 2 224 3 53 2 3 4 4 33 2 2 22 4 2 2 2 1 1 4 7 2 6 3 2 2 4 50

r2 r12

1 102

r1 ( 2)r3

2 2 21 4 7 2 6 3 2 2 4 50 c1 ( 2 2)c32

1 10c2 ( 2)c3

001 3 2 1 3 2 2 4 50 c1 ( 1)c2

0 10

001

3 2 100 00 1 2 r1 r3r1 ( 5)r2 0 1 0 10 0r1 ( 1) c1 c3

2 001 0( 1)( 1) 0

故该矩阵的Smith标准型为

1

1 ;

2

( 1)( 1)

(4)对矩阵作初等变换

301 001 2 0

4 0 3 60 22 00 22 c1 2c5

c2 3c3

0 06 2 0 0 2 0 10 100 10 100 00 00 3 31 2 2 3 31 2 2

001 001 0 0

0 0 00 22 00 0c1 3c2 r2 2r1 c3 2c2c3 c1 0 00 2 0 0 2 0

10 100 10000 000 01 01 000 0010 0 10 0 0 22 r2 r1000 c4 2c3 c1 c4 c5 c4c2 c5 0 000 00

10000 00 01 000 00

在最后的形式中，可求得行列式因子

00

00

0

00 00

10 01

D5( ) 3( 1)2,D4( ) ( 1),D3( ) D2( ) D1( ) 1,

于是不变因子为

d1( ) d2( ) d3( ) 1,d4( )

故该矩阵的Smith标准形为

D( )D4( )

( 1),d5( ) 5 2( 1)D3( )D4( )

1

0 0 0 0

0010010000

00 . 00

( 1)0

2

0 ( 1)

00

2.求下列 矩阵的不变因子：

0 2 1

；

2 1（1）0

0 2 0

（2）

0 0 0（3）

0 5

1

000

10

0 1 ；

04

0 10 ； 1

3 2

01 2 0

0 1 20 . （4） 1 200 2000

解：（1）该 矩阵的右上角的2阶子式为1，故

D1( ) D2( ) 1,

而

D3( ) ( 2)3，

所以该 矩阵的不变因子为

d1( ) d2( ) 1,d3( ) ( 2)2;

（2）当 0时，由于

D4( ) ( )4,D3( ) ( )2，D2( ) D1( ) 1，

故不变因子为

d1( ) d2( ) 1，d3( ) ( )2,d4( ) ( )2

当 0时，由于

D4( ) [( )2 2]，

且该 矩阵中右上角的3阶子式为

2 ( ),且( 2 ( ),D4( )) 1，

则D3( ) 1，故D2( ) D1( ) 1，所以该 矩阵的不变因子为

d1( ) d2( ) d3( ) 1,d4( ) [( )2 2];

（3）该 矩阵的右上角的3阶子式为 1，故

D1( ) D2( ) D3( ) 1,

而

D4( ) 4 2 3 3 2 4 5，

所以该 矩阵的不变因子为

d1( ) d2( ) d3( ) 1, d4( ) 4 2 3 3 2 4 5;

（4）该 矩阵的行列式因子为

D1( ) D2( ) D3( ) 1,D4( ) ( 2)4,

所以该 矩阵的不变因子为

d1( ) d2( ) d3( ) 1,d4( ) ( 2)4.

3．求下列 矩阵的初等因子：

3 2 3 1（1） 3 ； 232

2 32 2 3 2 2 2 1 2 2 1 （2） 3 . 22

2 2 12 2

解：(1)该 矩阵的行列式因子为

D1( ) 1,D2( ) ( 1)( 1)2，

故初等因子为 1,( 1)；

(2) 该 矩阵的行列式因子为

2

D1( ) 1,D2( ) ( 1)( 1)2，

故不变因子为

d1( ) 1,d2( ) ( 1)( 1),

因此，初等因子为 1, 1, 1.

4．求下列矩阵的Jordan标准形：

5 2 7 3 3 131616 4

； （2） 2 21 ；

2（1） 5 7 6；（3） 2 5

4 103 6 8 7 1 11

11 1 033 1

（4） 3 33 ；（5） 186 ；（6） 0 2 22 2 14 10

0 0

解：（1）设该矩阵为A，则

100

E A 010 ，

00( 1)2

( 3)

故A的初等因子为

( 1)2( 3)，

则A的Jordan标准形为

300 011 ； 01 0

（2）设该矩阵为A，则

10

0 E A 010 ，

00( 1)3

故A的初等因子为

( 1)3，

从而A的Jordan标准形为

110 011 ； 01 0

234

123 012

. 001

（3）设该矩阵为A，则

0 10

,

E A 010

2

00( 1)( 1)

故A的初等因子为

1, i, i,

从而A的Jordan标准形为

100 0 i0 ; 00i

（4）设该矩阵为A，则

10 E A 0

00

故A的初等因子为

0

0 , 2

, 2，

从而A的Jordan标准形为

000

001 ; 000

（5）设该矩阵为A，则

0 10

,

E A 010

2

00 ( 1)

故A的初等因子为

,( 1)2，

从而A的Jordan标准形为

000 0 11 ; 00 1

（6）设该矩阵为A，则

3 4 1 2 0 1 2 3 ， E A 00 1 2 000 1

该 矩阵的各阶行列式因子为

D1( ) D2( ) D3( ) 1,D4( ) ( 1)4，

则不变因子为

d1( ) d2( ) d3( ) 1,d4( ) ( 1)4，

故初等因子为

( 1)4，

则A的Jordan标准形为

1 0 0 0

5．设矩阵

100 110 . 011

001

142

，

A 0 3 4

043

求A.

解：矩阵A的特征多项式为

5

fA( ) I A ( 1)( 5)2，

故A …… 此处隐藏：2516字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……