高一上册数学第一章2《函数的表示方法及值域综合复习》讲义

高一上册数学第一章2《函数的表示方法及值域综合复习》讲义

例1、判断下列函数是否为同一函数。

（1）f(x)

（3）f(x)

2nx2， g(x) x3； （2）f(x) |x|，g(x) xx 0, 1 1x 0; x2n 1，g(x) （2nx）2n－1（n∈N）； （4）f(x) x 2x 1，g(t) t 2t 1。 *22

【题型二】求函数的解析式：求解函数的解析的方法：换元法，配凑法，待定系数法，解方程组法等 例2、（1）已f(

（3）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x 1) 2f(x 1) 2x 17，求f(x)；

（4）已知f(x)满足2f(x) f() 3x，求f(x)。

1xx113，求f(x)的解析式. （2）已知f(x ) x 3，求f(x)； 1 xxx1x

【题型三】求函数的定义域：函数的定义域是指使得函数有意义的自变量的取值范围。

例3、

（1）已知f x f x 2 的定义域是 。

（2）已知函数y f x 的定义域为 2,4 ，则f x 2 的定义域是 。

(2 3x)0的定义域是 。 （3）f(x) 2x 1

（4）已知函数f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：

(1) f(x) 23； (2)y 2f(x)。 2 1

1

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例4、已知函数f(x) 3x 1的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ） 2ax ax 3 A．a

11 B． 12 a 0 C． 12 a 0 D．a 33

【题型四】函数的值域

2【1】观察法（用非负数的性质，如：x 0；x

0 0(x 0)等）

例5、求下列函数的值域：y 3x 2

变式: 求下列函数值域：

（1）y 3x 2 x [ 1,2] （2）y 1 x x { 2, 1,0,1,2}

22

1,x 03 （3）y 1 （4）y 0,x 0 x 1,x 0

【2】配方法：常可转化为二次函数型F(x) af(x) bf(x) c，配成完全平方式，根据变量的取值范围，然后利用 二次函数的特征来求最值；

2 2

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例6、已知函数y x 2x 3，分别求它在下列区间上的值域。

（1）x R； （2）x [0, )； （3）x [ 2,2]； （4）x [1,2]．

变式：已知函数y 3x 12x 13，求它在下列各区间上的值域：

（1）[ 1,1]； （2）[1,4]； （3）(1,3]．

例7、求函数y 2 x 4x(x 0,4 )的值域。 变式1：求函数y 2225的值域. 22x 4x 3

变式2：当x (0,2]时，函数f(x) ax 4(a 1)x 3在x 2时取得最大值，则a的取值范围是 变式3：（1）求y x 2ax 3,x [2,4]最小值。（-----动轴定区间）

3 22

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（2）求y x 2x 3,x [t,t 2]的最小值（-----定轴动区间）

【3】换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的。

例8、求函数y 2x 3 4x的值域。 变式：求函数y 2x 4 x的值域.

【4】分离常数法（部分分式法）；对分子.分母有相似的项某些分式函数，可通过分离常数法，化成y k f(x) (k为常数)的形式来求值域． 2

x2 x5x 4例9、求函数y 2的值域。 变式：求函数y 的值域。 x 1x x 1

cx dc (c 0,bc ad)的值域为{y|y ． ax ba

【5】逆求法（反表示法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围； 说明：形如y 常用来解，型如：y ax b,x (m,n) cx d

2x1 x2

例10、 求函数y 的值域。 变式：求函数y =的值域。 1 x2x 1

4

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【题型五】分段函数：分段函数主要考的是求值与解不等式。

例题11、已知函数f(x) x(x 0)，则f[f( 2)]= 2x(x 0)

x2 1,0 x 2 变式1：已知函数f x 3x 1,2 x 4,则f 1 f 5

11,x 4

x 2(x 1) 变式2：已知函数f(x) x2( 1 x 2)，若f(a) 3,则a= 。

2x(x 2)

课后作业

x 3,x 20,则f 18 1. 若f x ffx 5,x 20

2．给出五组函数：

① y1 (x 3)(x 5)， y2 x 5； ② y1 x 1x 1 ，y2 x 1)(x 1) ； x 3

x2 ； ④f(x) x， F(x) x3； ③ f(x) x， g(x)

⑤ f1(x) (2x 5)2， f2(x) 2x 5。

各组中的两个函数是同一函数的有_________(写出序号即可)

3．求下列值域：（1）y

（3）y

5 3x 23； （2）y ； x 2x4； （4

）y 2x 2x 2

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4．已知f(2 1) 2x

x，求f(x)；

5．设x2

1,x2为方程4x－4mx m 2 0的两个实根，当m _____时，x22

1 x2有最小值_______。

6．已知函数 (x) f(x) g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数， (1

3) 16,

（1）求 (x)的解析式，并指出定义域； （2）求 (x)的值域

6

(1) 8．