圆锥曲线与方程章节复习总结(2)

（1）求a的取值范围； （2）求|AM|＋|AN|的值；

（3）问是否存在这样的a值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？ 解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）

则

∴代入y2＝4ax（a＞0）得

，

。

圆锥曲线与方程章节复习总结

由

（2）∵A为焦点，

得。

∴。

（3）△AMN中，AP为MN边上的中线，由平面几何知识，|AM|＋|AN|＞2|AP|， ∴不存在实数a，使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列。

点评：（1）根据定义解题，能化难为易；（2）巧用平面几何和三角知识解题，能简化运算过程，简约思维过程。

第四讲 直线与圆锥曲线

一. 直线与圆锥曲线的三种位置关系——相交、相切、相离

直线l方程为由

，圆锥曲线方程F（x，y）＝0。

消元（如y）后得。

若F（x，y）＝0表示椭圆，则上述方程中a≠0，为此有：

1. 若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行（或重合）；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行（或重合）。

2. 若a≠0，设 （1）△＞0时，相交于两点； （2）△＝0时，相切于一点； （3）△＜0时，无公共点。

二. 直线与圆锥曲线相交所产生的问题 1. 弦长

直线与圆锥曲线相交于A、B，

，直线斜率为k。

（1）一般弦长公式：

（2）焦点弦长公式：可用焦半径公式来表示弦长，简化运算，如：椭圆（中心在原点，焦点在坐标轴上）

（过右焦点）

（过左焦点）

（过上焦点）

（过下焦点）

2. 弦的中点问题 多数问题可合理、准确地运用韦达定理来解决．但弦的中点坐标与其斜率可由曲线方程得到关系，合理使用此关系，可简化解决有关问题的过程，如： 设点，则

是椭圆

上不同两点且

，M是其中

圆锥曲线与方程章节复习总结

两式作差可得

其中可以看作是斜率，而是中点M纵横坐标比，这种方法叫做代点法，最后需检验直线与曲线是否相交。

说明：

（1）直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况来讨论．

①若方程组消元后得到一个一元二次方程，根据△来讨论．

②若方程组消元后得到一个一元一次方程，则相交于一个公共点，值得注意的是，直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行（或重合）于其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不相切，而是相交！

③直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形结合，以形助数的方法解决．

④若讨论一线段与圆锥曲线或一直线与圆锥曲线的一部分（如双曲线的一支）的公共点个数，则应注意根的范围限制．

（2）与弦有关的问题内容十分丰富，基本类型有弦长、弦中点、有关最值、有关轨迹等问题，但解题思想都很一致，即由直线方程与圆锥曲线方程联立、消元、判别式、韦达定理转化为方程的问题求解，在解题过程中，一定要形成常规的通解通法，形成规范的解题步骤．

（3）焦点弦问题，要注意圆锥曲线定义的应用．

（4）代点法可将弦中点与弦所在直线的斜率相互转化．

（5）在分析直线与圆锥曲线的问题时，要注重函数思想、方程思想、转化思想、分类讨论思想的应用，注重待定系数法、判别式法、代点法、数形结合法等数学方法的培养，提高综合运用能力和创新探索能力．

【典例分析】

例1. 过双曲线的右焦点F作倾斜角为的弦AB，求弦长|AB|及弦中点C到F的距离。

解：由双曲线的方程得，半实轴长a＝3，半虚轴长b＝4，半焦距c＝5，

∴双曲线的右焦点为F（5，0），直线AB的方程为代入，消去y

得。 设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），

。

又

，

。

例2. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上，A、B、C、D是抛物线上的四点，

。

圆锥曲线与方程章节复习总结

已知线段AB的中点的纵坐标为3，线段CD的中点的纵坐标为直线AB的倾斜角的2倍，求此抛物线方程．

解法一：设抛物线方程为

。①

，且直线CD的倾斜角是

由于直线AB与y轴不平行，故可设AB方程为由①②消去x，得

∵弦AB中点纵坐标为3，∴

。

，∴直线AB的斜率

。②

。 。 。

同样地，直线CD与y轴不平行，设其方程为由弦CD中点纵坐标为，可得直线CD的斜率∵直线CD倾斜角是AB倾斜角的2倍，

∴直线CD的斜率∴所求的抛物线方程为解法二：设两式相减得

，即。 ，则有

。

，∴直线AB的斜率

，解得p＝2。

，

。

同理可得直线CD的斜率。 ∵CD倾斜角是AB倾斜角的2倍，

即，解得p＝2。

∴所求的抛物线方程为。 点评：上述两种方法求抛物线弦所在直线的斜率，是研究圆锥曲线与直线位置关系的过程中常用的两种方法，一般来说，解法二比解法一的计算量要小，应熟练掌握、应用．

例3. 已知双曲线C：与点P（1，2）。

（1）求过点P（1，2）的直线l的斜率k的取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点。

（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P？

（3）若Q（1，1），试判断以点Q为中点的弦AB是否存在。

解：（1）设直线l的方程为代入双曲线C的方程，整理得①当

，即

，

。 （*）

时，直线与双曲线的渐近线平行，此时只有一个交点。

圆锥曲线与方程章节复习总结

②当时，令△＝0，得。

又点（1，2）与双曲线右顶点（1，0）在直线x＝1上，而x＝1为双曲线的一条切线。 ∴当k不存在时，直线与双曲线只有一个公共点。 综上所述，当当当

或

或或

或k不存在时，l与C只有一个交点；

时，l与C有两个交点；

时，l与C没有交点。

，则x1、x2是方程（*）的

。

，即

。 ，

（2）假设以P为中点的弦AB存在，设两根，则由韦达定理，得

∴这样的弦存在，方程为（3）假设弦AB以Q为中点，且

。

两式相减，得：

。

。由（1）知，此时AB与C无交点，

∴假设不正确，即以Q为中点的弦不存在。

点评：题（1）处理过程中，考虑了渐近线斜率，进而得到

时，两交点在左

支；时,两交点在右支；时，两交点分布在左、右支．题（2）（3）则均为存在性问题，对此类问题，一般采用“假设反证法”或“假设验证法”来解决．

例4. 已知直线与双曲线的左支交于A、B两点，若另一条直线l过点P（－2，0）及线段AB的中点Q。求直线l在y轴上的截距的取值范围。

解：由方程，消去y，整理得：。

由题设得

设A、B两点坐标分别为

解得：

则

。

圆锥曲线与方程章节复习总结

∴直线l的方程为

令x＝0，得直线l在y轴上载距

，

。

∴截距b的取值范围是：。 点评：直线与双曲线的一支公共点个数的讨论一定要注意条件转化的充要性：即所得一元二次方程根是有范围的，除判别式△外，还要加强限制．当然本例中k的范围也可用数形结 …… 此处隐藏：1168字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……