圆锥曲线与方程章节复习总结

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【本讲教育信息】

一. 教学内容：

期末复习专题：圆锥曲线与方程

二. 知识分析： 【本章知识网络】

【学法点拨】

圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容．圆锥曲线试题的类型、特点与学习的方法主要归结如下：

1. 求动点的轨迹方程问题，从来都是高考的热点，试题有一定的难度，学习时应注意一些求轨迹方程的基本方法。

2. 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，试题一般涉及量较多，计算量大。要求较强的运算能力．在计算中，首先要明确运算方向，还要注意运算合理，运算的技巧，使运算简练。

3. 试题注重对解析几何基本方法的考查，要求会建立适当的直角坐标系，把平面几何问题转化为代数问题。

4. 注意用圆锥曲线的定义解题．有关圆锥曲线上的点到焦点的距离，到准线的距离，离心率的问题都可能用到圆锥曲线的定义去解。

5. 对称问题是高考的热点，注意关于原点、x轴、y轴，关于直线y＝±x对称的两曲线方程的特点。

6. 在有关直线与圆锥曲线的问题中，注意韦达定理、弦长公式在解题中的应用。

7. 一些试题将解析几何问题与数列问题、极限问题、不等式问题、函数问题综合在一起，对解决数学综合问题的能力要求更高，此时要充分利用解析几何的特点，运用数形结合，用代数的方法解决几何的问题。

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【备考建议】

在复习过程中抓住以下几点：

1. 在高考命题中，有关圆锥曲线的试题主要考查两大类问题。

一是根据题设条件，求出圆锥曲线的方程；二是通过方程，研究圆锥曲线的性质。本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本，因此掌握双基、精通课本是关键。 2. 加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习

由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点．这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想来设。

3. 重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程的目的，如下列思想和方法：（1）方程思想；（2）用好函数思想方法；（3）掌握坐标法；（4）对称思想；（5）参数思想；（6）转化思想。

4. 在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧，椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、准线、离心率有关量的关系问题，若能用定义法，可避免繁琐的推理与运算．涉及到原点和焦点距离问题用极坐标的极径表示．关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法．利用引入一个参数表示动点的坐标x、y，间接把它们联系起来，减少变量、未知量采用参数法．有些题目还常用它们与平面几何的关系，利用平面几何知识会化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果。

第一讲 椭圆

一. 椭圆及其标准方程

1. 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1 F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 一般的：集合数：

（1）若a＞c，则集合P为椭圆； （2）若a＝c，则集合P为线段； （3）若a＜c，则集合P为空集。 2. 椭圆的两种标准方程

焦点在x轴上焦点在y轴上

都有：（1）a＞b＞0；（2）

，焦点为，焦点为。

，其中

，且a、c为常

； 。

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【典例分析】

例1. 已知椭圆及直线y

＝x＋m。

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。

解：解方程组消去y，整理得

（2）由韦达定理得∴弦长L＝

＝

，当

m＝0时，L取得最大的值为，此时直线方程为y＝x。

点评：设两曲线交点M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的斜率为k，则弦长

或

例2. 若椭圆（

O为原点）的斜率为

。

与直线x＋y＝１交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM，且OA⊥OB，求椭圆的方程。

）。

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（

由 。

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点评：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A（xl，yl），B（x2，y2）,但不是真的求出xl，yl，x2，y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题，由OA⊥OB得xlx2＋yly2＝0是解决本题的关键。

例3. 如图所示，从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴的端点B的连线AB∥OM。

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；

（3）设Q是椭圆上一点，当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若△F1PQ的面积为

，求此时椭圆的方程。

解：（1）∵MF1⊥x轴， ∴xM＝－c，代入椭圆方程，得

∵OM∥AB，∴从而（2）设

，则

。 ，

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由余弦定理，得：当且仅当

上式成立，

；

（3）

又PQ⊥AB，∴则PQ的方程为得

而F1到PQ之距为

，设椭圆方程

，

，代入椭圆方程，

，由弦长公式，得

。

。

，

故所求椭圆的方程为

第二讲 双曲线

一. 双曲线的定义

平面内动点P与两个定点F1，F2

（（1）当（2）当

时，P点的轨迹是双曲线。 时，P点的轨迹是两条射线。 ，

。

， ，

）的距离之差的绝对值为定值2a。

（3）当时，P点不存在。

（4）当a＝0时，P点轨迹是线段F1F2的中垂线。

二. 双曲线的几何性质

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【典例分析】

例1. 求渐近线方程为曲线方程。

与

，焦点为椭圆

）与（，得

的一对顶点的双）时，

，

解：（1）当双曲线的焦点为椭圆的长轴顶点，即（设双曲线方程为

（其中

）。由

，

，∴所求的双曲线方程为

（2）当双曲线的焦点为椭圆短轴顶点，即（0，设双曲线方程为

（其中

），即

）与（0，

， ， 。

）时，

，故所求的双曲线方程为

综上，所求的双曲线方程为

点评：当已知双曲线的渐近线方程为为

（或

），其中

或

（或

）时，可设双曲线的方程

为不等于零的待定常数，以简化运算过程，

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这里方程

称之为双曲线的共渐近线的双曲线系。

例2. 设双曲线上两点A、B，AB中点N（1，2）。 （1）求直线AB的方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？

（1）解法一：显然AB斜率存在，设AB：y－２＝k（x－１），

由得

当△＞0时，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则。 ∴直线AB：y＝x＋1。

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），

。

则两式相减得