信号系统(陈后金)第7章-离散时间信号与系统的Z域分析

离散时间信号与系统的Z域分析

离散时间信号的Z域分析 离散时间系统的Z域分析 离散时间系统函数与系统特 性 离散时间系统的模拟

离散时间信号的Z域分析 理想取样信号的拉普拉斯变换 单边Z变换定义 单边Z变换的收敛域 常用序列的Z变换 单边Z变换的性质 Z反变换

理想取样信号的拉普拉斯变换f s (t ) f (t ) (t kT) k

k

f (k T) (t k T)

Fs ( s) L[ f s (t )]

k

f (kT)e ksT

令e sT z, 有L{ f s (t )} k

f [k ]z k F (z )

S域到Z域的映射关系：

z e

sT

双边Z变换定义双边Z变换Z反变换：

F ( z)

k

f [k ]z

k

1 k 1 f [k ] c F ( z) z dz 2 j

C为F(z) 的ROC中的一闭合曲线。 物理意义： 将离散信号分解为不同频率复指数esTk的线性组合

一、单边Z变换定义单边Z变换

F ( z ) f [k ]z kk 0

Z反变换：

1 k 1 f [k ] c F ( z) z dz 2 j

C为F(z) 的ROC中的一闭合曲线。 使级数收敛的所有z值范围称作F(z)的收敛域，用符 号ROC (region of convergence)表示。

二、收敛域(ROC)有限长序列

F ( z)

k N1

N2

f [k ]z k

ROC : z 0

1 0 k N 1 例：f [k ] RN [ k ] 0 其它F ( z ) z kk 0 N 1

1 z N 1 1 z

z 0

二、收敛域(ROC)右边序列

F ( z)

k N1

f [k ]z

k

ROC

z Rf

例：f [k ] a k u[k ]F ( z) a zk k 0 k

1 1 1 az

Im(z)

ROC : z a

Rf

Re(z)

三、常用序列的Z变换1) Z{ [k ]} 1, z 02) Z{ u[k ]} k

1 1 z1 e 1

z a1 cos 0 z 1 j sin 0 z 1 1 2 z 1 cos 0 z 2 1

3) Z {e j 0 k u[k ]}

1j 0

z 1

1 cos 0 z cos( 0 k )u[k ] 1 2 z 1 cos 0 z 2 sin 0 z sin( 0 k )u[k ] 1 2 z 1 cos 0 z 2 1

四、Z变换的主要性质f1[k ] F1 ( z ), z R f 11.线性特性

f 2 [k ] F2 ( z ), z R f 2

af1[k ] bf 2 [k ] aF1 ( z ) bF2 ( z )

z max( R f 1 , R f 2 ) 例：RN [k ] u[k ] u[k N ]

1 z 1 z F ( z) 1 1 1 z 1 z 1 z 1

N

N

z 0

ROC 扩大

2.位移特性 因果序列的位移 非因果序列的位移f [k ]f [k 1]

f [k n] z nF(z)

ROC = Rff [k 2]

0

k

0

k

0

k

Z{ f [k 1]u[k ]} z ( F ( z) f [0])证：Z { f [k 1]u[k ]} f [k 1]zk 0 k 1 k

f [k ]z ( k 1)k 1

z f [k ]z k z ( F ( z ) f [0])

Z[ f [k 2]u[k ]} Z{ f [(k 1) 1]u[k ]} z (Z{ f [n 1]} f [1]

) z 2 F ( z ) z 2 f [0] zf [1]}

Z [ f [k 1]u[k ]} z 1F ( z ) f [ 1] Z{ f [k 2]u[k ]} z Z{ f [k 1]u[k ]} f [ 2] z 2 F ( z ) z 1 f [ 1] f [ 2] 1

例：F(z)=1/(z a) |z| a 求f [k]。 解：

1 F ( z) z 1 1 az 1

由因果序列的位移特性

f [k ] Z 1{F ( z )} a k 1u[k 1]

3.指数加权特性

a k f [k ] Z F ( z / a)

z a Rf 1

sin 0 z sin( 0 k )u[k ] 1 2 z 1 cos 0 z 2 1 k

z 1

sin 0 ( z / ) sin( 0 k )u[k ] 1 2( z / ) 1 cos 0 ( z / ) 2

sin 0 z 1 2 1 2 2 z cos 0 z

z a

4. Z域微分特性

dF ( z ) kf [k ] z dz例： 已知 a u[k ] k Zk Z

z Rf

1 1 az 1

z a , 求Z{( k 1)a k u[k ]}

(k 1)a u[k ]

1 ( 1)( a)( 1) z 2 ( z ) 1 1 az (1 az 1 ) 2

1 (1 az 1 ) 2

z a

5. 序列卷积

f1 [ k ] f 2 [ k ] F1 ( z ) F2 ( z ) |z|>max(Rf1, Rf2)

证：Z{ f1[k ] f 2 [k ]} Z{ f1[n] f 2 [k n]}

f1[n]Z{ f 2 [k n]} F2 ( z) f1[n]z n F1 ( z ) F2 ( z )n n

n

例：Z { f [n]} Z{ f [k ] u[k ]} n 0

k

F ( z) 1 z 1

6. 初值与终值定理

f [0] lim F ( z )z

f [ ] lim ( z 1) F ( z )z 1

应用终值定理时，只有序列终值存在，终值定理才 适用。

五、反Z变换1 f [k ] F ( z ) z k 1dz 2 j ci

C为F(z) 的ROC中的一闭合曲线。

Re s{F ( z) z k 1}z zi zi为F(z)zk 1在C中的极点计算方法： 幂级数展开和长除法 部分分式展开 留数计算法

部分分式法进行Z反变换1. 有理真分式，分母多项式无重根F ( z) i 1 n

ri 1 pi z 1

各部分分式的系数为ri (1 pi z 1 ) F ( z )z pi

2. 有理真分式，分母多项式在z=u处有l阶重极点F ( z) i 1 n l

ri 1 pi z d l i 1 l i 1

i 1

l

qi (1 uz 1 ) i ) F ( z)

qi

1 ( u )l i

(l i )! d( z )

(1 uz

1 l

z u ,

i 1, l

3. 假分式F ( z)

m n

i 1

k i z i

B1 ( z 1 ) A( z 1 )

多项式

有理真分式