大学物理学-刚体的转动定律

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2–6 刚体的定轴转动 6

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三、 刚体的转动定律

d ∑ M iz = dt (J ω )

dω ∑ M iz = J dt = J β绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比 与刚体的转动惯量成反比. 成正比， 转动惯量成反比 合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比. 在定轴转动中相当于在质点力学中牛顿第二定律的地位

第2章 运动定律与力学中的守恒定律

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竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？ 大都分布于外轮缘？第2章 运动定律与力学中的守恒定律

全 ？

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如图，质量均为m的两物体 的两物体A,B. A放在倾角为 的 放在倾角为α的 例 2.20 如图，质量均为 的两物体 放在倾角为 光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连 相连。 光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与 相连。定 滑轮是半径为R的圆盘 其质量也为m. 物体运动时，绳 的圆盘， 物体运动时， 滑轮是半径为 的圆盘，其质量也为 与滑轮无相对滑动。求绳中张力T 及物体的加速度a 与滑轮无相对滑动。求绳中张力 1和T2及物体的加速度 轮轴光滑)。 (轮轴光滑)。

第2章 运动定律与力学中的守恒定律

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解：物体A,B,定滑轮受力如上图。对于作平动的物体 物体 ，定滑轮受力如上图。对于作平动的物体A,B,由 ， 牛顿定律， 牛顿定律，得 由于绳不可伸长， 由于绳不可伸长，故 ' T1 m g s i n α = m a Am g T = m aB' 2

a A = a B = Rβ

T = T1 , T = T2' 1 ' 2

解之， 解之，得

对定滑轮， 对定滑轮，由转动定律得

T2 R T1 R = J β

1 J = m R2 2

2 + 3sinα 3+ 2sinα T1 = mg,T2 = mg 5 5 2(1 s i nα )aA = aB = 5 g

第2章 运动定律与力学中的守恒定律

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转动着的飞轮的转动惯量为J, = 时角 例2.21 转动着的飞轮的转动惯量为 ，在t=0时角 此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大 速度为 ω 0 .此后飞轮经历制动过程，阻力矩 的大 小与角速度ω的平方成正比 比例系数为k(k为大于 的平方成正比， 小与角速度 的平方成正比，比例系数为 为大于 零的常数),当 ω = 1 ω0 时，飞轮的角加速度是多少？ 零的常数) 飞轮的角加速度是多少？ 3 从开始制动到现在经历的时间是多少？ 从开始制动到现在经历的时间是多少？ 解 (1) M = kω 2 ,故由转动定律有

kω 2 kω 2 = J β 即β = J 2 1 kω 0 Qω = ω0 ∴β = 3 9J第2章 运动定律与力学中的守恒定律

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(2)

dω M = Jβ = J dt

dω分离变量， 分离变量，得

dω kω = J dt2

ω2 t=0时， ω = ω0 ,两边积分

k = dt J

∫ω

1 ω0 30

dω

k

= ∫ dt 2 0 J ωt

k + = t ω0 ω0 J

3

1

2J t= . k ω0第2章 运动定律与力学中的守恒定律

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四、定轴转动的动能定理 1、转动动能 、 -----刚体绕定轴转动时的动能 刚体绕定轴转动时的动能1 1 mi vi 2 = mi (riω ) 2 则i质元的动能为 质元的动能为 2 2 则整个刚体的转动动能

ωv rivi mi

v

Ek =

∑i =1

n

1 1 n 1 2 2 2 2 m i ri ω = ( ∑ m i ri )ω = J ω 2 2 2 i =1 2

刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半. 与角速度平方乘积的一半.第2章 运动定律与力学中的守恒定律

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2、力矩的功 、

r d r i = dsi = ri dθdsi

dAi = Fτ i dsi = Fτ i ri dθ = M i dθ 式中Fτ i = Fi cos α i对i求和，得 求和， 求和

dA = (∑ M i )dθ = M dθ力矩的功

A=

∫θ

θ21

M dθ

力矩的功率 力矩的功率

dA dθ P= =M = Mω dt dt

第2章 运动定律与力学中的守恒定律

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3、刚体定轴转动的动能定理 、

dω dω dθ dω M =J =J = Jω dt dθ dt dθ分离变量， 分离变量，得 两边积分，得 两边积分，θ21

M dθ = J ω d ω

∫θ

M dθ =

∫ω

ω21

1 1 2 J ω d ω = J ω2 J ω12 2 2

合外力矩对定轴转动的刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量 .第2章 运动定律与力学中的守恒定律

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如图所示，一根质量为m,长为l的均匀细棒 例2.22 如图所示，一根质量为 ，长为 的均匀细棒 OA,可绕固定点 在竖直平面内转动.今使棒从水平 在竖直平面内转动. ,可绕固定点O在竖直平面内转动 位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30 30° 位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角时 中心点C和端点 的速度. 和端点A的速度 中心点 和端点 的速度. 解：棒受力如图l mg cos θ 重力G对 轴的力矩大小等于 重力 对O轴的力矩大小等于 2

轴的支持力对O轴的力矩为零。由转动 轴的支持力对 轴的力矩为零。 轴的力矩为零 动能定理， 动能定理，得

∫

π

6 0

l 1 1 1 2 2 mg cos θ dθ = J ω J ω0 = J ω 2 2 2 2 2 π

(1) )

重力矩的功

AG = ∫

6 0

l l mg cos θ dθ = mg = m g ( hc末 hc初) 2 4

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l 1 2 将AG = mg ,J = ml 代入(),得 1 4 3 3g ω= 2l则中心点C和端点A的速度分别为

l 1 vc = ω = 6 gl 2 4

1 vA = ωl = 6 gl 2第2章 运动定律与力学中的守恒定律

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如图所示， 例2.23 如图所示，物体的质 量为m 量为 1,m2,且m1>m2. 圆盘 × 状定滑轮的质量为M 状定滑轮的质量为 1和M2, M 2 , R2 半径为R 半径为 1和R2,质量均匀分 绳轻且不可伸长， 布。绳轻且不可

伸长，绳与 T2 滑轮间无相对滑动，滑轮轴 滑轮间无相对滑动， 光滑。试求当m 下降了x距离 光滑。试求当 1下降了 距离 m2 时两物体的速度和加速度。 时两物体的速度和加速度。 m2 g

× M1 , R1T1 m1 m1 g

解：以两物体、两滑轮和地球为一系统，A外=0,A内非=0, 以两物体、两滑轮和地球为一系统， , , 故机械能守恒。 下降x时的位置为势能零点 时的位置为势能零点， 故机械能守恒。以m1下降 时的位置为势能零点，则有第2章 运动定律与力学中的守恒定律

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1 1 1 1 2 2 2 2 m1 gx + m2 gx = m2 g2 x + m1v + m2v + J1ω1 + J2ω2 2 2 2 2 1 1 2 2 其中， 其中， v = ω1 R1 = ω 2 R2 , J1 = M1 R1 , J 2 = M 2 R2 2 2 解，得v= 4( 4( m1 m2 ) g x 2( m1 + m2 ) + M1 + M 22 2

× M 2 , R2T2