数学建模——中国人口模型分析

数学建模——中国人口模型分析

人口模型分析

数学建模——中国人口模型分析

一 综述 二 问题的提出 三 模型假设 四 符号说明 五 模型建立 六模型检验

数学建模——中国人口模型分析

综述 日益增长的人口数量导致了资源短缺，环境恶 化。通过对1978年到2008年的全国人口数量 的统计数据，建立两个数学模型：指数模型， 阻滞模型。模型通过假设条件，根据假设建立 合理的模型，以及mathematica对数据的处理， 并且运用数据拟合求模型的解r,最后通过求 出来的r预测中国未来十年内的人口变化规律， 从而可以合理的有计划的利用资源，使环境和 资源实现可持续发展。

数学建模——中国人口模型分析

人口问题是当今世界的三大问题之一，人 口的剧烈增长导致资源日益短缺，环境日 益恶化，认识和了解人口数量的变化规律， 做出较准确的估测，从而有效地控制人口 增长以及合理有效地开发能源和环境保护， 通过1978年到2008年的人口数据变化的规 律，对2010年到2020年全国人口数量做出 合理的预测。

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假设：1.表中所给出的数据是中国人口的真 实值。 2.一些大型自然灾害不考虑在内，如战争， 地震等。 3.中国实行的生育模式一直不变。 4.医疗水平无太大变化，对人口数量几乎没 有影响。

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符号说明

r——人口增长率 t——时间 ——1978年人口数量 x(t)——时刻t的人口数 r(x)——增长率的函数 ——人口最大容量

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模型一： 模型建立： 图表是从1978年到2008年间的人口数：

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记时刻t=0是人口数为 x0 ,时刻t的人口 为 x(t ) ,由于量大，x(t )可视为连续、可微 函数。t到 t+△t时间段内人口的增量为

x(t t ) x(t ) rx(t ) t

于是 x(t ) dx rx 满足微分方程

dt x(0) x0

(1)

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模型求解： rt 解微分方程(1),得 x(t ) x0e 由上述模型微分方程的解，通过对上表进 行数据拟合，得到参数r:

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程序： shuju={{0,20.6851},{1,20.6984},{2,20.7102},{3,20.7240 },{4,20.7397},{5,20.7529},{6,20.7659},{7,20.7801},{8,2 0.7957},{9,20.8122},{10,20.8279},{11,20.8429},{12,20. 8572},{13,20.8702},{14,20.8817},{15,20.8932},{16,20. 9043},{17,20.9149},{18,20.9253},{19,20.9354},{20,20. 9449},{21,20.9537},{22,20.9603},{23,20.9672},{24,20. 9737},{25,20.9797},{26,20.9855},{27,20.9914},{28,20. 9967},{29,21.0019},{30,21.0070}}; f1[x_] = Fit[shuju, {1, x}, x] 结果为： 20.7065 + 0.0111379 x r =0.0111379

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将r=0.0111379代到上述模型中，得到指数 增长模型，方程为：

x(t ) 9.6259* e

0.0111379*t

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求出的1978到2008年的人口数为：1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 9.6259 9.73371 9.84273 9.95297 10.0644 10.1772 10.2912 10.4064 10.523 10.6408 10.76 10.8805 11.0024 11.1256 11.2502

1994

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

11.5036 11.6325 11.7628 11.8945 12.0277 12.1624 12.2987 12.4364 12.5757 12.7166 12.859 13.003 13.1486 13.2959

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画出两表的数据图像，得到：13

12

11

1985

1990

1995

2000

2005

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从图表可以看出，1978到2008年预测的人 口数和实际人口数误差较大。原因在于， 指数模型当t 时， ,即人口数无 穷增长，但自然环境下，因为资源，环境 条件等人口最终将稳定在某一特定的值， 无论t再变，y值都不会再改变。

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模型二： 模型建立 当 x xm 时，增长率应为0,即

r ( xm ) 0 ,

r ,带入 r ( x) r sx ,得 于是 s xm x r ( x) r (1 ) (3) xm

将(3)式带入(1)得 模型：dx r (1 x ) x (4) xm dt x(0) x 0

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模型求解： 解方程(4),得x(t ) xm xm 1 ( 1)e rt x0

(5)

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通过求的模型，对表中1978到2008年的数 据r进行数据拟合： 由此得到阻滞增长模型方程式：

16 y 16 1 ( 1)e rt 9.6259

其中t为时间，y为人口数。

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七模型检验

将得到的数据与实际数据比对，画出图像 可以看出，预测的数据与实际数据误差较 小，较吻合，比对结果如图所示：13

12

11

1985

1990

1995

2000

2005

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由此我们可以预测出2009年到2020 年的中国人口数据，2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 13.6898 13.7756 13.8587 13.9392 14.0171 14.0924 14.1653 14.2357 14.3038 14.3695 14.4329 14.4942