2-3-2两个变量的线性相关3

变量的线性相关

变量间的相关关系两个变量的线性相关第二课时

变量的线性相关

问题提出

1. 两个变量之间的相关关系的含义如何？成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有什 么特点？ 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机 性的两个变量之间的关系. 正相关的散点图中的点散布在从左下角到右上角 的区域，负相关的散点图中的点散布在从左上角 到右下角的区域

变量的线性相关

2.观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数据 的散点图，这两个相关变量成正相关.我们需要进 一步考虑的问题是，当人的年龄增加时，体内脂 肪含量到底是以什么方式增加呢？对此，我们从 理论上作些研究.脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

变量的线性相关

变量的线性相关

知识探究(一):回归直线思考1:一组样本数据的平均数是样本数据的中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？它一 定是散点图中的点吗？脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

(x , y )

变量的线性相关

思考2:在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有 一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据 的散点图中的点的分布有什么特点？脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

这些点大致分布在一条直线附近.

变量的线性相关

思考3:如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有 线性相关关系，这条直线叫做回归直线.对具有线 性相关关系的两个变量，其回归直线一定通过样 本点的中心吗？脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

变量的线性相关

思考4:对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？

脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

变量的线性相关

思考5:在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？借助计算机怎样画出回归 直线？脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

变量的线性相关

知识探究(二):回归方程

在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程， 回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相 关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程， 那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关 变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估 计.

变量的线性相关

思考1:回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

整体上最接近

变量的线性相关

思考2:对于求回归直线方程，你有哪些想法？

脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

变量的线性相关

思考3:对一组具有线性相关关系的样本数据：(x1,y1),(x2,y2)

,…,(xn,yn),设其回归 Ù 方程为 y = bx + a 可以用哪些数量关系来刻 画各样本点与回归直线的接近程度？(xi,yi)

(x1, y1)(x2,y2)

(xn,yn)

可以用 |其中Ù

y i - y i | 或 (y i - y )

Ù

Ù 2 , i

y i = bx i + a .

变量的线性相关

思考4:为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来 刻画比较合适？(xi,yi) (x1, y1) (x2,y2) (xn,yn)

Q ( yi yi )i 1

n

2

( y1 bx1 a) ( y2 bx2 a) ( yn bxn a)2 2

2

变量的线性相关

思考5:根据有关数学原理分析，当b

(xi 1 n

n

i

x )( yi y )

( xi x ) 2 i 1

n

x yi 1 n i i 1

n

i

nx y , a y bx

xi 2 nx 2

时，总体偏差 Q (yi yi )2 为最小，这样i 1

就得到了回归方程，这种求回归方程的 Ù 方法叫做最小二乘法.回归方程 y = bx + a 中，a,b的几何意义分别是什么？

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思考6:利用计算器或计算机可求得年龄和 人体脂肪含量的样本数据的回归方程为 Ù y = 0.577x - 0.448 ,由此我们可以根据 一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分 比的回归值.若某人37岁，则其体内脂肪含 量的百分比约为多少？脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

20.9%

变量的线性相关

理论迁移有一个同学家开了一个小卖部，他为了研 究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个 卖出的饮料杯数与当天气温的对比表：摄氏温 度(℃) 热饮杯 数 15 116 -5 156 0 150 4 132 7 128 12 130

例

19 104

23 89

27 93

31 76

36 54

变量的线性相关

摄氏温 度(℃) 热饮杯 数15

-5156 19

0150 23

4132 27

7128 31

12130 36

116

104

89

93

76

54

(1)画出散点图； (2)从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一般 规律； (3)求回归方程； (4)如果某天的气温是2℃,预测这天卖出的热饮杯数.

变量的线性相关

180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -10 0 10 20 30 y = -2.3517x + 147.77 40 温度

热饮杯数

当x=2时，y=143.063.