信号与系统 傅里叶变换基本性质

信号与系统—signals and systems

3.3 傅立叶变换的基本性质 对称性 线性 奇偶虚实性 尺度变换特性 时移特性 频移特性 时域微分 频域微分 时域积分 频域积分 卷积定理

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一、对称性1.f (t ) F ( ) F (t ) 2 f ( )

1 证明： f (t ) 2

1 F ( )e d f ( t ) 2 j t

F ( )e j t d

变量互换 2 f ( )

F (t )e j t dt F (t ) 2 f ( )

2.若 f (t ) f ( t ), 则f (t ) F ( ) F (t ) 2 f ( )

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信号与系统—signals and systems[例1]:求 G c ( )的逆变换

解：

f (t ) F ( ),

G c (t ) c sa(

c2

)

偶函数 F (t ) 2 f ( ), f ( )

t F (t ) c sa( c ) 2 2 2

c Sa( c t ) G2 ( ) [u ( c ) u ( c )] c

矩形脉冲的频谱为Sa函数， Sa形脉冲的频谱必为矩形函数

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信号与系统—signals and systems[例2]:求 ( ) 的逆变换 解：f (t ) F ( ),

(t ) 1

偶函数

F (t ) 1 F (t ) 2 f ( ), ( ) 2 2

直流信号的频谱冲激函数，冲激函数频谱必为常数

二、线性f i (t ) Fi ( ) ai f i (t ) ai Fi ( )i 1 i 1 n n

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三、奇偶虚实性1.f (t ) 为任意函数

①基本定义 i) f (t ) F ( ) f (t )e j t dtii) F ( ) F ( ) e j ( ) R( ) jX ( ) X ( ) iii) F ( ) R ( ) X ( ), ( ) arctg R ( ) f (t ) f ( t ) iv) f e (t ) 2 v) f o (t ) f (t ) f ( t ) 2 vi) f (t ) f r (t ) jfi (t )2 2

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信号与系统—signals and systems②基本性质

i) f ( t ) F ( )

1 j t 证明： f (t ) F ( ) e d 2 1 1 j t f ( t ) F ( )e d 2 2 1 jut F ( u ) e du 2 f ( t ) F ( )

F ( u )e jut d ( u )

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ii) f *(t ) F *( ), f *( t ) F *( ) 证明:1 f *(t ) 2 1 2

F *( )e

j t

1 d 2

F *( u )e jut d ( u )

F *( u )e jut du

f * (t ) F * ( )

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信号与系统—signals and s

ystems1 1 iii) f e (t ) [ F ( ) F ( )], f o (t ) [ F ( ) F ( )] 2 2证明：iii) Fe ( )

f (t ) f ( t ) j t 1 e dt [ F ( ) F ( )] 2 2 1 Fo ( ) [ F ( ) F ( )]

2

实信号

Fe ( ) R( )

Fo ( ) jX ( )

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信号与系统—signals and systems1 1 iv) f r (t ) [ F ( ) F * ( )], f i (t ) [ F ( ) F * ( )] 2 2j证明: iv) f (t ) F ( ), f *(t ) F *( )

f (t ) f *(t ) 1 [ F ( ) F *( )] 2 21 f r (t ) [ F ( ) F * ( )] 2

f (t ) f *(t ) 1 fi (t ) [ F ( ) F *( )] 2j 2j

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信号与系统—signals and systemsf (t ) 为实函数 2. ①实函数 偶幅度奇相位，实部偶，虚部奇

i) F ( )

f (t )e

j t

dt

f (t ) cos tdt j

f (t ) sin tdt

ii) R( )

f (t ) cos tdt , X ( )

f (t ) sin tdt

R( ) R ( ), X ( ) X ( ) iii) F ( ) F * ( ) F ( ) F ( ) , ( ) ( )

f (t ) 实偶 F ( )实偶 ②特例： f (t ) 实奇 F ( )虚奇 ③特例：

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信号与系统—signals and systems3. f (t )为虚函数①虚函数 偶幅度奇相位，实部奇，虚部偶 i) f (t ) jg (t ),则 F ( ) ii) R( )

g (t ) sin tdt j

g (t ) cos tdt

g (t ) sin tdt , X ( )

g (t ) cos tdt

R( ) R( ), X ( ) X ( ) iii) F ( ) F ( ) , ( ) ( )②特例： f (t )虚偶 F ( ) 虚偶 ③特例： f (t )虚奇 F ( ) 实奇

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信号与系统—signals and systems at e (t 0) 的 F ( ), (a 0) [例3]:求 f (t ) at e (t 0)

解：F ( )

0

e e

at j t

dt e e0

at j t

/ 2 ( 0) F ( ) 2 , ( ) 2 a / 2 ( 0)f(t)

2

2 j dt 2 a 2

10

e att -1

1 a

F ( )

f (t ) 实奇 F ( ) 虚奇 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系

e at

a 0 a

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四、尺度变换特性1 f (t ) F ( ) f (at) F ( ) 1. a a j t 证明： [ f (at )] f (at )e dt

(a 0)

j x 1 1 a dx F ( ) 当 a 0 时， [ f (at )] f ( x)e a a a j x 1

1 a dx F ( ) 当 a 0时， [ f (at )] f ( x)e a a a

令 x at

1 f (at ) F ( ) a a哈尔滨工业大学自动化测试与控制系

信号与系统—signals and systemsa 1 f ( t ) F ( ) 2.3.含义 i)时域压缩 频域扩展 ii)时域扩展 频域压缩 iii)时域反褶 频域反褶

(能量守恒)

物理解释：信号波形压缩a倍，信号随时间变化加 快a倍，所以包含的频率分量增加a倍，即频谱展 宽a倍；根据能量守恒定理，各频率分量的大小必 然减小a倍

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信号与系统—signals and systems1 f ( t) 1 2

2 2 F (2 )

0

t

0

1

f (t )

G (t ) Sa(t2f (2t )

2

)

0

F ( )

2

0 2

1

0 4 4

1 F( ) 2 2 4 2

t

0

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信号与系统—signals and systems4.等效脉冲宽度 等效带宽

设当 t , 时,

f (t ) 0, F ( ) 0

通信系统 中，通信 1 1 j t f (t ) F ( )e …… 此处隐藏：2186字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……