同济版大一高数下第七章第六节全微分方程xg

高等数学第二十九讲

第五节 全微分方程一、全微分方程 二、积分因子法

第七章

一、全微分方程若存在 u ( x, y ) 使 d u ( x, y ) = P ( x, y ) d x + Q ( x, y ) d y 则称 P ( x, y ) d x + Q ( x, y ) d y = 0 ①为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则 ① 为全微分方程 求解步骤: 1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .3

例1. 求解

(5 x 4 + 3x y 2 y 3 ) d x + (3x 2 y 3x y 2 + y 2 ) d y = 0 P Q 2 = 6x y 3 y = 解: 因为 y x 故这是全微分方程 , 取 x0 = 0 , y 0 = 0 , 则有x 0

u ( x, y ) = ∫ 5 x d x + ∫ (3 x y 3 x y + y ) d y0

4

y

2

2

2

3 2 2 3 1 3 = x + x y xy + y 2 35

y

( x, y )

因此方程的通解为

3 2 2 1 3 5 3 x + x y xy + y = C 2 3

o (x,0) x4

例2. 求解

P 1 Q = 2 = 解: Q , ∴ 这是一个全微分方程 . y x x 用凑微分法求通解. 将方程改写为 x d y y dx x dx =0 2 x 1 2 y 1 2 y d ( x )= 0 即 d ( x ) d ( ) = 0, 或 2 x 2 x 1 2 y y ( x, y ) x =C 故原方程的通解为 2 x 解法二：取 x0 = 1 y0 = 0 注： 0 ≠ 0 解法二 x o x x y1 (1,0) (x,0) u ( x, y ) = ∫ xd x ∫ d y 通解同上。 5 1 0 x

2x y 2 3x 2 例3 求通解 dx + dy = 0. 3 4 y y P 2 x 6 x = Q ( y≠0) 解法1 Q 解法1 = ( 3)= 4 x y y y y方程为全微分方程. 利用曲线积分求解:( x, y ) 2 x dx + ( 0,1) 3

Q

∫

y

y 2 3x 2 dy = C , 4 yy 1

即

∫

x2 x y dx + 0 13 1

∫

1 y 2 3x 2 2 dy = C , ∴ x 4 y y

x2 + 3 y

y 1

= C.

故方程的通解为

x 1 = C. 3 y y

2

2x y 3x 求方程 3 dx + dy = 0的通解. 例3 4 y y P 6 x Q 解 = 4 = , 是全微分方程, 是全微分方程, x y y 1 2x 3x 2 dy + ( 3 dx 4 dy ) 将左端重新组合 2 y y y x2 1 1 x2 = d ( ) + d ( 3 ) = d ( + 3 ), y y y y 2 1 x 原方程的通解为 + 3 = C. y y2 2

x2 2 xy 3 dx 3 x 2 y 2 dy d( 3 ) = y y6

常用微分倒推公式: 常用微分倒推公式

1) d x ± d y = d ( x ± y ) 3) xd x + yd y = d (1 (x2 2

2) xd y + yd x = d ( x y )

+y ))2

x y yd x xd y yd x xd y 5) = d( ) 4) = d( ) 2 y x x y2 yd x xd y x 6) = d ( ln ) xy y x yd x xd y 7) = d ( arctan ) 2 2 y x +y

8)

xd x + yd y x 2+ y 2

= d(

x2 + y2 )8

思考: 思考 如何解方程

P Q Q =1 = 1 y x1 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成例2 的方程 ： 2

即

1 2 y d ( x ) d ( ) = 0, 2 x

或

1 2 y d ( x )= 0 2 x9

二、积分因子法

若存在连续可微函数 µ = µ ( x, y ) ≠ 0 , 使

为全微分方程, 则称 µ ( x, y ) 为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.10

积分因子不一定唯一 . 可取

例如,

对

yd x xd y = 0

yd x xd y x 4) = d( ) 2 y y y yd x xd y 5) = d( ) 2 x x x yd x xd y 6) = d ( ln ) y xyyd x xd y x 7) = d ( arctan ) 2 2 y x +y11

例1:求下列微分方程的通解 1. yd x xd y = yd y

y 解法1: 解法 ：写成全微分方程的形式： d x ( x + y )d y = 0 P Q 由于 Q =1 = 1 原方程不是全微分方程 y x yd x xd y x 1 Q = d( ) 在方程两边同时乘以 2 2 y y y x yd x xd y d y 即 d = d (ln y ) 得： = y y y2两边积分得通解：

x = ln Cy y12

1. yd x xd y = yd y解法2 解法 化为齐次方程. 原方程变形为

积分得

x 将 u = 代入 , 得通解 y

1. yd x xd y = yd y解法3 解法 化为线性方程. 原方程变形为

其通解为

即

y= e

∫ P ( x ) dx

[∫

∫ P ( x ) dx dx + C ] Q( x) e14