线性代数练习册第四章习题及答案(本)(2)

1 x 2

则通解为 y c 1

z 1

1

2,(c R) 0

x1 ax2 x3 3

四、a,b取何值时，线性方程组 x1 2ax2 x3 4

x x bx 4

23 1

（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？

说明: 对于方程个数与未知量个数相等的含参数的线性方程组,判别其由唯一解, 有无穷解或无解时最好用:方程组有唯一解 系数行列式|A| 0, 此种方法简单 又不容易出错.

解: 方程组有唯一解 系数行列式|A| 0

a11a1而|A| 2a1r2 r11

bra03 r01

01 a

b 1

按第一列展开1 ( 1)

1 1

a0 a

b 1

a(b 1) 0

(1)当a 0且b 1时,方程组有唯一解 (2)当a=0时,增广矩阵 1013 r2 r1 1013 1

01(A,b)=

1

014 r r 310001 r2 r3 01b 1

11

b

4 ~ 0

1

b 1

1 ~

00

则R(A) 2 R(A,b) 3, 此时方程组无解. (3)当b=1时, 1

a13 114 r2 r1 1

11(A,b)=

1

2a14r r 1 23 12a14 rr 3 102a 10

11

1

4 ~

11

1

3 ~ 0

a 1

当a=1/2时, 1

114 1114

(A,b)~

0

000 r2 r3 1/20 1 ~ 0

0 1/2

1

00

0

则R(A) 2 R(A,b) 3, 此时方程组有无穷多解. 当a 1/2时, 1

114 (A,b)~

0

2a 100

00

1

则R(A) 2 R(A,b) 3, 此时方程组无解.

3

1 1

4

0 1