线性代数练习册第四章习题及答案(本)

第四章 线性方程组

§4-1 克拉默法则

一、选择题

1．下列说法正确的是（ C ）

A.n元齐次线性方程组必有n组解； B.n元齐次线性方程组必有n 1组解；

C.n元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；

D.n元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）

A.当D 0时，非齐次线性方程组只有唯一解； B.当D 0时，非齐次线性方程组有无穷多解； C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则D 0； D.若非齐次线性方程组有无解，则D 0. 二、填空题

x1 x2 x3 0

1．已知齐次线性方程组 x1 x2 x3 0有非零解，

x 2 x x 0

23 1

则 1 ， 0 .

2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式D 0, 则方程组有唯一解xi DiD

.

三、用克拉默法则求解下列方程组

8x 3y 2

1．

6x 2y 3

解：

D

86

32

2 0

5

D2

86

23 12

D1

23

32

，

D1D 52,y

所以，x

D2D

6

x1 2x2 x3 2

2． 2x1 x2 3x3 1

x x x 0

23 1

1D 2

2111

1 3 1

r2 2r1r3 r1

100011010011

23 1 5

1

5 5 00

解：

2D1 1

01D2 2

11D3 2

1

1 211 210 211D1D

3r1 2r21 11

05

3 5 1 5 3 10 101 50D3D

，

3r1 2r22 1 2

15

，

1r1 2r220 1,x2

1D2D

1

所以， x1 2,x3

2x z 1

3． 2x 4y z 1

x 8y 3z 2

2D 2

048 1

10048

1

1 20 03

解：

1D1 1

22D2 2

12D3 2

1

1c1 2c303

1

0482

50

1048112048D1D

1c3 c113 1

2

0 205112048

00 0511 202D3D

，

1c3 c2231

10

，

1c1 2c302 1,y

5D2D

1

所以， x 0,z

x1 x2 x3 x4 5

x1 2x2 x3 4x4 24．

2x1 3x2 x3 5x4 2 3x x 2x 11x 0

234 1

解：

1D

1231 5 2

12 31 2 3 15D1

2 205 2 2

1D2

123 7 12 151D3

123 2 511

5 2 212 31 1 555 2 20 2 3 15 2 20 10 1828

1 1 123 7812 31

14 511

r2 r1r3 2r1r4 3r1100

1000

11 5 23

8 142145

12 310

32 142 225 7 12 1500 112 310 2951

07 27

426 13 31 28485 2 20

10 182801 2 3 1

13 78 1 550

10 18280

1 2 3 1

13 78

r2 5r1r3 2r11 1 12

1

2 13 5

4c3 2c2 2 5c4 11c2 211

0 27231000

0 1 35

10 18281 1 123 781

c1 5c2c3 10c2

14 511

r2 r1r3 2r1r4 3r1

2333 15 2 5

r1 2r3r2 3r3

4c1 3c2112c2 5c11c3 5c1

2 2 511

5c4 11c211

1D4

123 2 511

1 55

12 315 2 2

D1D

1 1 12

5 212 315

1 550

5 2 20

2c1 3c2 5 2c3 2c2110

256

D2D

0 100

r3 r2r2 5r1

27 142 4

D3D

3,x4

D4D

1

所以， x1 1,x2 2,x3

§4-2 齐次线性方程组

一、选择题

1．已知m n矩阵A的秩为n 1， 1, 2是齐次线性方程组AX 0 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组AX 0的通解为（ D ）. A.k 1； B.k 2； C.k( 1 2)； D.k( 1 2).

解：因为m n矩阵A的秩为n 1，所以方程组AX 0的基础解系 含1个向量。而 1, 2是齐次线性方程组AX 0的两个不同的解， 所以 1 2 0为AX 0的解，则方程组AX 0的通解为k( 1 2)。

kx1 x2 x3 0

2．设线性方程组 x1 kx2 x3 0 有非零解，则正确的是（ C ）

2x x x 0

23 1

A.k必定为0； B. k必定为1；

C. k为0或1； D.这样的k值不存在.

a1b1 a2b1

3．A

M anb1

a1b2a2b2Manb2

LLOL

a1bn

a2bn

,且a 0(i 1,2,L,n)， 0(j 1,2,L,n)， bij M anbn

则Ax 0的基础解系中含有（ A ）个向量.

A.n 1； B.n； C.1； D.不确定.

a1b1 a2b1

解：因为A

M anb1

a1b2a2b2Manb2

LLOL

a1bn a1

a2bna

2 b

1

M M anbn an

b2

L

bn

所以，R(A) 1；又a1b1 0 R(A) 1，所以，R(A) 1。

4．设A为n阶方阵，r(A) n 3 ，且a1,a2,a3是Ax 0的三个 线性无关的解向量，则Ax 0的基础解系为（ A ）．

A．a1 a2,a2 a3,a3 a1； B．a2 a1,a3 a2,a1 a3； C．2a2 a1,二、填空题

1．n元齐次线性方程组Am nX 0有非零解的充分必要条件是R(A) n .

(1 )x1 2x2 4x3 0

2．当 0或 2或 3时，齐次线性方程组 2x1 (3 )x2 x3 0有非零解.

x x (1 )x 0

23 1

12

a3 a2,a1 a3； D．a1 a2 a3,a3 a2, a1 2a3．

3．写出一个基础解系由 1 2,1,0 ， 2 3,

T

0,

1 组成的

T

齐次线性方程组___ __x1 2x2 3x3 0.

x1 2x2 3x3

解：方程组可为 x2 x2

x x3 3

即x1 2x2 3x3 0

x1 2x2 3x3 3x4 7x5 0

3x1 2x2 x3 x4 3x5 0

三、求解齐次线性方程组

x1 2x3 2x4 6x5 0

5x 4x 3x 3x x 0

2345 1

解：

1

2337 23 r 3 1

A

3211 3 2

r1 4 8 r010226

3 r1

0 2 1 5

4

3

3 1 ²r 5r 41 0 6

12

r( 1/4) 1

2337 2

r (1/ 1

r 2r01226 33) 32

r 003311

22r3

r²0

² 04 6r2

00

0 r 2r 12 3r3 0

x 4x 1

5/3 x

4x5/3

所以，同解方程组为

2 x3

x4 11x5/3， x4 x4 x5

x5

0 4/3

0 4/3

则 1 1 , 2 11/3 为一组基础解系，

1 0 0 1

所以，通解为x k1 1 k2 2。

37

8 24

1 1

12 36 000 4/3

100 4/3

01111/3

00

0

x1 2x2 2x3 0

四、已知3阶非零矩阵B的每一列都是方程组 2x1 x2 x3 0 的解.

3x x x 0

123

①求 的值；②证明B 0.

① 解：

因为3阶非零矩阵B的每一列都是方程组的解，所以方程组有非零解。

1

2 11

2

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