初高中数学的学习一些方法和技巧

高中数学学习方法 落实课前预习 学透数学概念 抓实及时练习 函数方程是基础 思想方法不可少 解题技巧不可丢 勤能补拙要牢记

思想方法不可少 例如在学习解析几何时数形结合 的思想就一定不能少，比如说 我们在讲解只限于双曲线的位 置关系是就是这样讲解的，并 且讲解完后学生的学习效果十 分好

判断直线与双曲线位置关系时我们必须先 预习， 预习，弄懂直线与椭圆的位置关系这样学 习起来就要轻松很多

一、直线与椭圆的位置关系(落实课前预习) 直线与椭圆的位置关系( ) (1)直线与椭圆位置关系 (2)弦长问题2

___ 0

1 2 / | A B |= 1 + k | A B |= 1 + ( ) / |a| k |a |

(3)弦中点问题 韦达定理或设点作差法 (4)经过焦点的弦的问题Y

二、直线与双曲线位 置关系种类： 置关系种类：X

O

种类:相离 相切 种类 相离;相切 相交 相离 相切;相交 (两个交点 一个交点 两个交点,一个交点 两个交点 一个交点)

方程组解的个数函数方程是基础(高中数学函数方程 是最基础的知识任何 地方都不能少)

有没有问题 ? 交点个数 一个交点 0 个交点 相离 相 切 相 交

两个交点 相交

[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常 个交点和两个交点的情况都正常, 那么 ,依然可以用判别式判断位置关系 依然可以用判别式判断位置关系 [2]一个交点却包括了两种位置关系 一个交点却包括了两种位置关系: 一个交点却包括了两种位置关系 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味 着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交 ? 练习：判断下列直线与双曲线之间的位置关系： 练习：判断下列直线与双曲线之间的位置关系： [1]

x y l : x = 3 ,c : = 1 9 16

2

2

相 切

4 x y =1 相 交 [2] l : y = x + 1 , c : 3 9 16试一下:判别式情况如何 试一下 判别式情况如何? 判别式情况如何 解题技巧不可丢 解题技巧不可丢(此处就是直线与渐 近线平行的情况不需 要再计算就看得出答 案)

2

2

一般情况的研究2 2

显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的 也就是 显然 这条直线与双曲线的渐进线是平行的,也就是 这条直线与双曲线的渐进线是平行的 相交.把直线方程代入双曲线方程 看看判别式如何? 把直线方程代入双曲线方程,看看判别式如何 相交 把直线方程代入双曲线方程 看看判别式如何

b x y l : y = x + m ,c : 2 2 = 1 a a b根本就没有判别式 !

当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直 线方程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所 谓的判别式了 。

结论： 结论：判别式依然可以判断直线与双

曲 线的位置关系 ！

判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程( 把直线方程代入双曲线方程(学透数学概念) )

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点) 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 相交 =0 相切 <0 相离

例1、判断下列直线与双曲线的位置关系 、 2 (抓实及时练习)2 4 x y 一个交点) [1] l : y = x+1,c: =1 相交 一个交点 ; 相交(一个交点 5 25 165 x y [2] l : y = x+1,c: =1. 4 25 162 2

相离

x2 C : 2 y 2 = 1( a > 0 ) 与直线 例2、设双曲线 、 a

l : x + y = 1 相交于不同的点 、B, 相交于不同的点A、 ,

求双曲线C 的离心率e的取值范围 的取值范围. 求双曲线 的离心率 的取值范围

例3、已知双曲线x 2 y 2 = 1及直线y = kx 1, ()若直线与双曲线有交点，求k的范围； 1 6 (2)若 | k |= ,求S OAB . 2

思想方法不可少 (此处就要注重 数形结合思想的 y 贯穿)

y = kx 1 解：( )联立 2 1 x y2 = 1 (1 k 2 ) x 2 + 2kx 2 = 0 (| x |≥ 1)

F1

.

O

. .

F2

x

当k = ±1时，y = ± x 1 直线与双曲线有1个交点当k ≠ ±1时， = 4k 2 + 8(1 k 2 ) ≥ 0 2 ≤ k ≤ 2且k ≠ ±1综上，当 2 ≤ k ≤ 2时，直线与双曲线有交点.

思 考 1: 什 么 情 况 下 只 有 一 个交 点 ？

y

当k = ± 2或k = ±1时， 直线与双曲线只有一交 点F1

.

O

. .

F2

思 考 2: 什 么 情 况 下 两 个 交 点？

当 2 < k < 2且 k ≠ ± 1时，直线与双曲线有两 个交点

思 考 3: 什 么 情 况 下 两 个 交 点在 右 支 ？当1 < k < 2时，直线与双曲线有两 个交点都在右支

思 考 4: 什 么 情 况 下 两 个 交 点在 两 支 上 ？当 1 < k < 1时，直线与双曲线有两 个交点在两支上

( 2) S OAB

1 = | AB | d , ( d是 O到直线 AB 的距离 ) 2

y

1+ k2 . F1 y = kx 1 (1 k 2 ) x 2 + 2kx 2 = 0 联立 2 x y2 = 1 2

d=

1

A

O

B .

F2

8 4k 2 由弦长公式： | 由弦长公式：AB |= 1 + k = 1+ k2 |a| |1 k2 |

1 2 2 k2 1+ k2 ∴S = 2 k2 1

1 1+ k2

2 k2 = 2 = 2 k 1

x -y 2=1 的左准线与x轴的交点是 轴的交点是M, 的左准线与 轴的交点是 设双曲线 3 则过点M与双曲线 与双曲线c有且只有一个交点的直线共 则过点 与双曲线 有且只有一个交点的直线共 有( C ) A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条 条 条 条 无数条

练习

2

数形结合

勤能补拙要牢记(及时练习不 偷懒这样学习效果才会好)

()过 M 1,)的直线交双曲线于 A、B 两点，若 M 为弦 AB 的中点， 1 ( 1 求直线 AB 的方程； 1 (2)是否存在直线l,使 N 1, 为 l 被双曲线所截弦的中点，若存在， 2 y 求

出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由.

x2 y 2 已知双曲线方程 =1 例 4、 4 2

解 ： A( x1 , 1) , ( x2 , 2 ) ,则 ( x1 ≠ x2 ) 设 y B y2 1

M. x y12 .N = 1 相减 o 2 2 4 2 y1 y2 1 x1 + x2 = 2 2 x2 y2 2 x1 x2 2 y1 + y2 =1 4 2 1 xM ∴ k AB = = 1 即 k AB = 1 , 2 2 2 yM ∴ 直线 AB 的方程为： y 1 = 1 ( x 1) 即 x 2 y + 1 = 0 . 2

2

x

y

设 解 法 二 ： l AB : y 1 = k ( x 1) y = kx + 1 k 联立 2 x 2 y2 = 4 (1 2k 2 ) x 2 4k (1 k ) x 2(1 k ) 2 4 = 0∴ x1 + x2 2k (1 k ) 1 = =1 k = , 2 2 1 2k 2

2M

2

o

. .N2

x

2

∴ 直线 AB 的方程为： y 1 = 1 ( x 1) 即 x 2 y + 1 = 0 . 2

(2) 假设过 N 的直线交双曲线于C ( x1 , 1 ) , ( x2 , 2 ) ,则 y D y 2 x1 y1 2 = 1 相减 y1 y2 1 x1 + x2 1 xN 4 2 x x = 2 y + y = 2 y =1 2 1 2 1 2 N x2 y2 2 =1 y 4 2

即 kCD = 1 , 2 1 x2 y 2 把y = x 代入 = 1得 2 4 2 9 2 x 2 x + = 0其中 = 5 < 0 4 ∴ 直线 l 与双曲线没有交点与所设矛盾

1 1 ∴ l的方程为：y = x 1即y = x 2 2

2M

o

. .N2

x

2

1 ∴ 以 N (1 , ) 为弦的中点的直线不存在 . 2

课外练习: 椭圆 =1N 课外练习: 1.椭圆 mx +ny =1 与直线 y=1-x 交于 M、 两点， =1 、 两点， 2 m 的值是( 过原点 …… 此处隐藏：2755字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……