2013走向高考数学详细答案3-7应 用 举 例

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第3章

三角函数与三角形

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第 七节

应用举例

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重点难点 重点：培养学生的应用意识和实践能力. 难点：将实际问题数学化 知识归纳 1.应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤 及基本思路. (1)基本思路：人 教

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(2)一般步骤： ①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图； ②建模： 根据已知条件与求解目标， 把已知量与求解 量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解斜三角形的数 学模型； ③求解： 利用正弦定理或余弦定理解出三角形， 求得 数学模型的解； ④检验： 检验上述所求的结果是否具有实际意义， 从 而得出实际问题的解.第3章 第七节 人 教

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2.实际问题中的有关术语、名称 (1)仰角和俯角

上 在视线和水平线所成的角中， 视线在水平线____方的下 角叫仰角，在水平线____方的角叫俯角(如图①).

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(2)方向角 ①正南方向、正北方向、正东方向和正西方向. ②东南方向： 指经过目标的射线是正东和正南的夹角 平分线(如图②).人 教

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③北 α 东，即北偏东 α:自正北方向按顺时针方向旋 π 转到经过目标的射线转过的角为 α (0<α< ).(如图③). 2 (3)方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角， B 如 点的方位角为 α(如图⑤)人 教

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3.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有： 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积 问题、航海问题、物理问题等.人 教

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误区警示 1.方位角与方向角要区分，方位角是由正北方向顺 时针旋转到目标方向线的最小正角. 方向角是东、西、南、北、东南、西北、北偏东 30° 、 南偏西 45° 等. 2.如何将实际问题中的角、长度归结到三角形中， 及解后考虑实际问题的实际意义.人 教

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一、解三角形应用题常见的几种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集 中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到 两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解 够条件的三角形， 然后逐步求出其它三

角形中的解， 有时 需设出未知量， 从几个三角形中列出方程， 解方程得出所 要求的解.人 教

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二、根据实际问题构造三角形 [例 1] 在海岸 A 处， 发现北偏东 45° 方向， 距离 A( 3 -1)n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75° 的方 向，距离 A 2n mile 的 C 处的辑私船奉命以 10 3n mile/h 的速度追截走私船. 此时，走私船正以 10n mile/h 的速度 从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜， 问辑私船沿什么方向能最 快追上走私船？人 教

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解析： 如图所示， 注意到最快追上走私船且两船所用 时间相等，若在 D 处相遇，则可先在△ABC 中求出 BC, 再在△BCD 中求∠BCD.人 教

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设辑私船用 th 在 D 处追上走私船，则有 CD=10 3 t,BD=10t, 在△ABC 中， ∵AB= 3-1, AC=2, ∠BAC=120° , ∴由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB· cos∠BAC AC· =( 3-1)2+22-2· 3-1)· cos120° ( 2· =6 ∴BC= 6,人 教

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BC2+AB2-AC2 6+ 3-1 2-4 2 ∵cos∠CBA= = = , 2BC· AB 2 2 6· 3-1 ∴∠CBA=45° ,即 B 在 C 正东. ∵∠CBD=90° +30° =120° , 在△BCD 中，由正弦定理得 BD· sin∠CBD 10tsin120° 1 sin∠BCD= = = , CD 2 10 3t ∴∠BCD=30° . 即辑私船沿北偏东 60° 方向能最快追上走私船.人 教

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点评： 本例关键是首先应明确方向角的含义， 在解应 用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画 出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将 实际问题转化成可用数学方法解决的问题， 解题中也要注 意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.人 教

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