高中数学不等式经典例题

高中数学不等式经典例题

典型例题一

例1 解不等式x 1 2x 3 2

a(a 0)

分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念a ，将不等式中

a(a 0)

的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号

的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．

解：令x 1 0，∴ x 1，令2x 3 0，∴x

3

，如图所示．2

（1）当x 1时原不等式化为 (x 1) (2x 3) 2 ∴x 2与条件矛盾，无解．

3

时，原不等式化为x 1 (2x 3) 2． 2

3

∴ x 0，故0 x ．

2

3

（3）当x 时，原不等式化为

2

3

x 1 2x 3 2．∴x 6，故 x 6．

2

（2）当 1 x

综上，原不等式的解为x0 x 6．

说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．

典型例题二

例2 求使不等式x 4 x 3 a有解的a的取值范围．

分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．

解法一：将数轴分为 ,3 ,[3,4],(4, )三个区间 当x 3时，原不等式变为(4 x) (3 x) a,x

7 a7 a

有解的条件为 3，即22

a 1；

当3 x 4时，得(4 x) (x 3) a，即a 1；

高中数学不等式经典例题

a 7a 7

，有解的条件为 4 ∴a 1．22

以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a 1．

当x 4时，得(x 4) (x 3) a，即x

解法二：设数x，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式PA PB a的意义是P到A、B的距离之和小于a．

因为AB 1，故数轴上任一点到A、B距离之和大于（等于1），即x 4 x 3 1，故当a 1时，x 4 x 3 a有解．

典型例题三

例3 已知x a

,0 y b ,y (0,M)，求证xy ab ． 2M2a

分析：根据条件凑x a,y b． 证明：xy ab xy ya ya ab

y(x a) a(y b) yx a a y b M

a ． 2M2a

说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．

典型例题四

例4 求证

a2 b2

a

a

分析：使用分析法

22

证明 ∵a 0，∴只需证明a b a ab，两边同除，即只需证明

2

2

a2 b2

b

ab

2

a

，即 b

aaa()2 ()2 bbb

当

aaaaaa

1时，()2 1 ()2 1 ()2 ；当 1时，

bbbbbb

高中数学不等式经典例题

a b 0，原不等式显然成立．∴原不等式成立．

说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：

a2 b2

a

a bb a b

aa

22

（1）如果

a

1，则a b 0，原不等式显然成立． b

bb 1，则 b，利用不等式的传递性知a ，b a b，∴aaa

（2）如果

原不等式也成立．

典型例题五

例5 求证

a b1 a b

a1 a

b1 b

．

分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．

证明：设f(x)

x1 x 11

． 1

1 x1 x1 x

定义域为｛xx R，且x 1｝，f(x)分别在区间( , 1)，区间( 1, )上是增函数．

又0 a b a b， ∴f(a b) f(a b)

即

a b1 a b

a b1 a b

a1 a b

b1 a b

a1 a

b1 b

∴原不等式成立．

说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵a b a b，1 a b 0，

∴

a bababa b ．

1 a b1 a b1 a b1 a b1 a1 b

错误在不能保证1 a b 1 a，1 a b 1 b．绝对值不等式a b a b在运用放

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缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．

典型例题六

(a 1)2(a 1)2

例6 关于实数x的不等式x 与x2 3(a 1)x 2(3a 1) 0(a R)

22

的解集依次为A与B，求使A B的a的取值范围．

分析：分别求出集合A、B，然后再分类讨论．

(a 1)2(a 1)2

解：解不等式x ， 22

(a 1)2(a 1)2(a 1)2

， x

222

∴A x2a x a2 1,a R．

解不等式x2 3(a 1)x 2(3a 1) 0，[x (3a 1)](x 2) 0． 当a

1 1

时（即3a 1 2时），得B x2 x 3a 1,a ．

3 3 1 1

时（即3a 1 2时），得B x3a 1 x 2,a ．

3 3

当a

2a 2,1

当a 时，要满足A B，必须 2故1 a 3；

3a 1 3a 1,

当a

2a 3a 1, a 1,1

时，要满足A B，必须 2

1 a 1,3 2 a 1;

∴a 1．

所以a的取值范围是a Ra 1或1 a 3．

说明：在求满足条件A B的a时，要注意关于a的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．

典型例题七

例6 已知数列通项公式an

sinasin2asin3asinna

对于正整数m、n，当

222232n

m n时，求证：am an

1． n2

高中数学不等式经典例题

分析：已知数列的通项公式是数列的前n项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式a1 a2 an a1 a2 an，问题便可解决．

证明：∵m n ∴am an

sin(n 1)asin(n 2)asinma

2n 12n 22m

sin(n 1)asin(n 2)asinma

n 1n 2m

222

1

12n 1

12n 2

1

m 2

(1 n 1

)

m n 11 2

1

1111(1 ) (0 1 1)． nm nnm n2222

11111

说明：n 1 n 2 m是以n 1为首项，以为公比，共有m n项的等比数列

22222

的和，误认为共有m n 1项是常见错误．

正余弦函数的值域，即sin 1，cos 1，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．

典型例题八

例8 已知f(x) x2 x 13，x a 1，求证：f(x) f(a) 2(a 1)

分析：本题中给定函数f(x)和条件x a 1，注意到要证的式子右边不含x，因此对条件x a 1的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用a 1 x a 1，替出x；(3)用绝对值的性质x a x a 1 x a 1进行替换．

证明：∵f(x) x2 x 13，∴f(a) a2 a 13， ∵x a 1，∴x a x a 1． ∴x a 1，

∴f(x) f(a) x2 a2 a x

(x a)(x a) (x a)

高中数学不等式经典例题

(x a)(x a 1) x a x a

x a 1 x a 1 a 1 a 1 2(a 1)，

即f(x) f(a) 2(a 1)．

说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要 …… 此处隐藏：2588字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……