机器人学蔡自兴课后习题答案

其余的比较简单，大家可以自己考虑。

3. 坐标系{B}的位置变化如下：初始时，坐标系{A}与{B}重合，让坐标系{B}绕

A

ZB轴旋转 角；然后再绕XB旋转 角。给出把对矢量BP的描述变为对P描述

的旋转矩阵。

解： 坐标系{B}相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变

换顺序为依次右乘。

AB

对P描述有 AP ABTP ；

其中 ABT Rot(z, )Rot(x, ) 。

9. 图2-10a示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放在图2-10b所示位置。

（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。

（2）作图说明每个从右至左的变换序列。 （3）作图说明每个从左至右的变换序列。

解：（1）方法1:如图建立两个坐标系{o1x1y1z1}、{o2x2y2z2}，与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立（方法1）

对楔块1进行的变换矩阵为：T1 Rot(y,90)Rot(z,90) ；

对楔块2进行的变换矩阵为：

oo

T2 Trans( 3,0,4)Rot(z, 90o)02TRot(x,90)Rot(z,180) ；

1 0 其中 02T 0 0 0 1

所以 ：T1

0 0

01000010

00101000

0 5 ； 0 1

0 00 1

1000 ；T2

0 100

1 000

2

0 4 1

对楔块2的变换步骤：

① 绕自身坐标系X轴旋转90 ； ② 绕新形成的坐标系的Z轴旋转180 ； ③ 绕定系的Z轴旋转 90 ； ④ 沿定系的各轴平移( 3,0,4)。

方法2：如图建立两个坐标系{o1x1y1z1}、{o2x2y2z2}与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立（方法2）

对楔块1进行的变换矩阵为：T1 Rot(y,90)Rot(z,90) ； 对楔块2进行的变换矩阵为：

T2 Trans( 2,0,9)Trans(4,0,0)Rot(y,90o)Rot(x,180o)Rot(z, 90o) ；

0 1

所以 ：T1

0 0

00101000

0 00 1

1000 ；T2

0 100

1 0002

0 。 9 1

备注：当建立的相对坐标系位置不同时，到达理想位置的变换矩阵不同。 （2）、（3）略。

2. 图3-11 给出一个3自由度机械手的机构。轴1和轴2垂直。试求其运动方程式。

解：方法1建模：

如图3建立各连杆的坐标系。

图3：机械手的坐标系建立

根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表1。

表1：机械手的连杆参数

该3自由度机械手的变换矩阵： 0T3 A1A2A3 ；

c 1 s A1 1

0 0 c 3 s A3 3

0 0

0s 10 c 11000

L1c 1 c 2

s L1s 1 ； A2 2 00

1 0

s 2

c 200

0L2c 2 0L2s 2 ； 10

01

s 300

c 300 ； 010

001

c 1c 2c 3 c 1s 2s 3

s c c s s s

1230

T3 123

s 2c 3 c 2s 3

0 方法二进行建模：

c 1c 2s 3 c 1s 2c 3

s 1c 2s 3 s 1s 2c 3

s 2s 3 c 2c 3

0s

1 c 100

L1c 1 L2c 1c 2 L1s 1 L2s 1c 2

L2s 2

1

坐标系的建立如图4所示。

图4：机械手的坐标系建立

根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表2。

表2：机械手的连杆参数

0L1 10 ； 00

01

0010

0 c 2

00 ； A2 s 20

1 0

s 2

0c 20

c 1 s 1 s c 1

A1 1

00

0 0 c 3

s A3 3

0 0

s 3c 300

0L2 00 ； 10

01

c 1c 2c 3 c 1s 2s 3 s c c s s s

1230

T3 123

s 2c 3 c 2s 3

0

c 1c 2s 3 c 1s 2c 3

s 1c 2s 3 s 1s 2c 3

s 2s 3 c 2c 3

0s 1 c 100

L1c 1 L2c 1c 2 L1s 1 L2s 1c 2

L2s 2

1

3. 图3-12 所示3 自由度机械手，其关节1与关节2相交，而关节2与关节3平行。图中所示关节均处于零位。各关节转角的正向均由箭头示出。指定本机械手各连杆的坐标系，然后求各变换矩阵0T1，1T2和2T3。

解：对于末端执行器而言，因为单独指定了末端执行器的坐标系，则要确定末端执行器与最后一个坐标系之间的变换关系。 方法1建模：

按照方法1进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图5。

图5：机械手的坐标系建立

连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合。机械手的D-H参数值见表3。

表3：机械手的连杆参数

注：关节变量 1 2 3 4 0 。

将表3中的参数带入得到各变换矩阵分别为：

1 00

T1

0 0 1

00 10 ；1T2 010L1 L2

001 000L4 1

0100 3 ； T 末

0010

001 0

000

00L3

100 ； 010

001 000 100 010

001

1 02

T3

0 0

方法2建模：

按照方法2进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图6。

图6：机械手的坐标系建立

3自由度机械手的D-H参数值见表4。

表4：机械手的连杆参数

注：关节变量 1 2 3 4 0 。

将表4中的参数带入得到各变换矩阵分别为：

1 00

T1

0 0 1

0100 ； 1T2 001L1 L2

001 0

000

0

0 10 ； 100

001

00

1 02

T3

0 0

0100

0L3 1

000 3 ； T 末

010

01 0

1

000

01000100

0L4 00 10

01

4 3 ；对于基座标系的微分0 1

0 0

1. 已知坐标系{C}对基座标系的变换为：C

1 0

平移分量分别为沿X轴移动0.5，沿Y轴移动0，沿Z轴移动1；微分旋转分量分别为0.1，0.2和0。

（1） 求相应的微分变换；

（2） 求对应于坐标系{C}的等效微分平移与旋转。 解：（1）对基座标系的微分平移：d [0.5,0,1]T；

对基座标系的微分旋转： [0.1,0.2,0]T；

00.20.5 0

0 0 0.10 ；

0.20.101 0000

000.5 0.2 0.1 000 相应的微分变换：dc c 0 0.20.10.5 0000 （2）由相对变换C可知n、o、a、p，

c

dx n (( p) d) 0.5；cdy o (( p) d) 0.5；cdz a (( p) d) 0

c

x n 0；c y o 0.1；c z a 0.2

对应于坐标系{C}的等效微分平移：cd [0.5;0.5;0]；微分旋转：c [0;0.1;0.2]。 2. 试求图3.11所示的三自由度机械手的雅可比矩阵，所用坐标系位于夹手末端上，其姿态与第三关节的姿态一样。 解:设第3个连杆长度为L3。

1）使用方法1建模，末端执行器的坐标系与连杆3的坐标系重合，使用微分变换法。

图7：机械手的坐标系建立

表5：D-H参数表

00 00 ； 3T3 E；

10 01

c( 2 3) s( 2 3) s( )c( )

3231

T3 2

00

00 由上式求得雅可比矩阵：

0L2c 2 c 3

s 0L2s 2 2 ；T3 3 010

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