五年级奥数周周练 第13周 长方体和正方体(一) (学生版)

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五年级奥数周周练

- 1 - 第13周长方体和正方体（一）

一、知识要点

在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：

1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；

2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；

3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。

二、精讲精练

【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）

【思路导航】

（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，

左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长

方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零

件的体积是80×2=160（立方厘米）；

（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，

朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此，此零件的表面积就是[10×6＋10×4＋6×4－（6－2）×（4－2）]×2=232（平方厘米）。

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- 2 - 练习1：

1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？

2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。

3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？

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- 3 - 【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）

【思路导航】

（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于

挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零

件的体积是240－8=232（立方厘米）；

（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。

练习2：

1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。

2.有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？

3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积和表面积各是多少？

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- 4 - 【例题3】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？

【思路导航】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，

其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积，每块正方

形的面积是50÷4=12.5（平方厘米）。正方体有6个这样的面，

所以，原来正方体的表面积是12.5×6=75（平方厘米）。

练习3：

1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？

2.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？

3.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它的表面积最多会减少多少平方分米？

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- 5 - 【例题4】把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。

【思路导航】要求大长方体的表面积，必须知道它的长、

宽和高。我们用a 、b 、h 分别表示小长方体的长、宽、高，

显然，a=4h ，即h=14a,2a=3b 即b=23a ，砖的体积是a ×23a ×14a

=16a ³。由16a ³=288可知，a=12，b=23×12=8,h=14×12=3。

大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8＋3=11厘米，表面积就是24×12×2+24×11×2+12×11×2=1368平方厘米。

练习4：

1.一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？

2.一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积。

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3.有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？用图画出来。

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五年级奥数周周练【例题5】一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？

【思路导航】长方体的前面和上面的面积是长×宽＋长×高=长×（宽＋高），由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209＝11×19＝11×（17＋2），即长、宽、高分别为11、17、2厘米。所以这个长方体的体积为11×17×2＝374（立方厘米），表面积为（11×17＋11×2＋17×2）×2＝486（平方厘米）。

练习5：

1.有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？

2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是960立方厘米，求它的表面积。

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3.一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分米、2分米，求正方体体积。

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