时间序列分析ch3习题解答7-11

时间序列分析第五次作业题（第三章7-11题）解答

第三章 P.100 3.5 习 题

7. 已知某中心化MA(1)模型1阶自相关系数 1 0.4，求该模型的表达式。

2

x , WN(0, 解：设该MA(1)模型为：tt1t 1t )，

1

1 0.4， 12 2.5 1 1 0, 1 2or 1 0.5， 2

1 1

所以，该模型有两种可能的表达式：xt t+ t 1和xt t+2 t 1。

8.确定常数C的值，以保证如下表达式为MA(2)模型：

12

xt 10 0.5xt 1 t 0.8 t 2 C t 3

23

(1 0.5B)x 10 (1 0.8B CB) t 解：将表达式移项，得：t

23

(1 0.8B CB)可分解出因子(1 0.5B)时， 所以，当

1 0.8B2 CB32x 20 20 ( B B) t t123可认为t

1 0.5B

xt 20+[1 0.5B 0.55B2] t为MA(2)模型。

用除式可以解得，当C=0.275时，表达式为MA(2)模型。

附：显然，当

(1 0.8B2 CB3)能够整除(1 0B.5时)，模型MA(2)模型，由此B 2是

1 0.8B2 CB3 0的根，故C 0.275

2

x 0.7 0.4 , ~WN(0, 9. 已知MA(2)模型为：ttt 1t 2t )。

求E(xt),Var(xt),及 k(k 1)。

解：

(1) E(xt) E( t 0.7 t 1 0.4 t 2) 0

2222

(2) Var(xt) Var( t 0.7 t 1 0.4 t 2) (1 0.7 0.4) 1.65

(3)

1 0.7, 2 0.4

98 1 1 2-,k 1 22 1 165

12,k 1 -0.593939,k 18 2 ,k 2 0.242424,k 2

k 3322 1 12,k 2 0,k 3 0,k 3 0,k 3

10. 证明：

(1) 对任意常数C，如下定义的无穷阶MA序列一定是非平稳序列：

xt t C( t 1 t 2 …), t~WN(0, 2)

(2) xt 的1阶差分序列一定是平稳序列，并求 yt 自相关系数表达式：

yt xt xt 1

Var(xt) lim(1 kC2) 2 解：（1）证明：因为，所以该序列为非平稳k

序列。

（2）yt xt xt 1 t (C 1) t 1，该序列均值、方差为常数，

22

E(yt) 0,Var(yt) 1 (C 1)

自相关系数只与时间间隔长度有关，与起始时间无关

1

C 1

, k 0,k 22

1 (C 1)

所以该差分序列为平稳序列。

另解：

xt t C( t 1 t 2 )xt 1 t 1 C( t 2 t 3 )

(1)(2)

由（1）-（2） 得，xt xt 1 t t 1 C t 1

xt 1 t 1或者，xt t C( t 1) xt 1 t (C 1) t 1

C

即，(1 B)xt [1+(C 1)B] T

显然模型的AR部分的特征根是1，模型非平稳。 （2）yt

xt xt 1 t (C 1) t 1为MA(1)模型平稳。

1C 1 1 2 2

1 1C 2C 2

11. 检验下列模型的平稳性与可逆性，其中 t 为白噪声序列： (1) xt 0.5xt 1 1.2xt 2 t (2) xt 1.1xt 1 0.3xt 2 t (3) xt t 0.9 t 1 0.3 t 2 (4) xt t 1.3 t 1 0.4 t 2 (5) xt 0.7xt 1 t 0.6 t 1

(6) xt 0.8xt 1 0.5xt 2 t 1.1 t 1

解：（1）非平稳，（2）平稳，（3）可逆，（4）不可逆，（5）平稳可逆，（6）不平稳不可逆。 (1)

1 0.5, 2 1.2 1 1.1, 2 0.3

2 1.2 1, 该模型不平稳。

(2)

2 1

2 1 0.3 1.1 0.8 1

0.3 1.1 1.4 1所以该模型平稳。 21

(3)

1 0.9, 2 0.3

2 0.3 1

2 1 0.3 0.9 0.6 1

0.3 0.9 1.2 1 21

又 q 2 ， 模型可逆。

(4)

1 1.3, 2 0.4

2 1 0.4 1.3 1.7 1， 模型不可逆，

q 2 ，所以该模型为平稳不可逆模型。

(5) 模型可化为：(1 0.7B)xt (1 0.6B) t

1 0.7 1, 1 0.6 1，

该ARMA(1,1)模型为平稳可逆模型。

(6) 模型为：xt 0.8xt 1 0.5xt 2 t 1.1 t 1

平稳性：

1 0.8, 2 0.5，因为 2 1 0.5 0.8 1.3 1，

该ARMA(2,1)模型不平稳。

可逆性：

1 1.1， 1 1.1 1 不可逆。

故该ARMA(2,1)模型不平稳，不可逆。