材料力学 第7章梁的强度问题

第七章 梁的强度问题

对于梁的受力弯曲，其横截面上的应力分布将不 再均匀，如何确定梁横截面上的应力分布便成了首要 解决的问题。 只有确定了梁上任意横截面的应力分布情况，才能 知道“危险截面”

进而进行强度设计，考虑是否存在安全问题等。绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，切应 力的影响是次要的，本章将主要确定梁横截面上正应 力以及与正应力有关的强度问题。2

7.1 工程中的弯曲构件

7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于内 力分量的类型、大小以及杆件的尺寸，而且与杆件横

截面的几何形状有关。因此，研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及 到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统 称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、 极惯性矩、惯性积、主轴等。

7.2.1 静矩、形心及其相互关系1. 截面一次矩 或 静矩

S y zdAA

S z ydAA

静矩单位为m3

如果将dA视为垂直于图形平面的 力，则ydA和 zdA 分别为 dA 对于 z 轴和 y 轴的 力矩 ，而 Sz 和 Sy则分别为A对z轴和y轴的力矩。5

图形几何形状的中心称为形心(Centroid of an area)

若将 面积 视为垂直于图形平面的 力 ，则 形心 即为 合力的作用点。设zc、yc为形心坐标，则根据合力矩定理：

S y Azc

zc

Sy A

A

zdA A ydA A形心坐标 与静矩之 间的关系

S z Ayc

Sz yc A

A

根据上述关于静矩的定义以及静矩与形心之间的关系 可以看出：

静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩：对某些坐标轴静矩为正；对另外一些坐标 轴静矩则可能为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静 矩等于零(证明见下一页)。

如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计算图形对于 这一坐标系中坐标轴的静矩。7

y

S z ydAA

h

z C

h/2

h/2

y bdy2 h/2 h/2

b

1 b y 2

0

对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零.8

对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以 直接确定形心位置的图形 );然后由式 (7—2)分别计算它 们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和，即

S y A1 zc1 A2 zc 2 An zcn Ai zcii 1 n

n

S z A1 yc1 A2 yc 2 An ycn Ai ycii 19

再利用式子(7-3),可以得到组合图形的形心坐标：

zc

Sy A

Azi 1 n

n

i ci

Ai 1

i

Sz yc A

Ayi 1 n i

n

ci

Ai 1

i

7.2.2

惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 1) 截面二次轴距(second moment of an area) 惯性矩(moment of inertia)

I y z dA2 A

I z y dA2 A

单位为m4

2) 二次极距(second polar moment of an area) 2 极惯性矩 r 2 4 I r dA 单位为mP

y2 z211

A

IP I y Iz

3) 惯性积 (Product of inertia)

I yz yzdAA

单位为m4

4) 惯性半径 (radius of gyration )

定义

iy

Iy A

iz

Iz A

惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置 的不同，可能为正，可能为负。三者的单位均为m4。12

对于圆形横截面： 此时坐标轴通过横截面的形心， 得到极惯性矩为：

I P r dA2 A

A r

2

I P r 2 rdr2 0

R

dA 2 r dr类似的得到圆环截面对于 圆环中心的极惯性矩为：

4

R2

4

d

4

32

IP

D 432

1

d D

当坐标轴通过某圆形横截面的中心，则该圆形横截面 对其中任意两根轴具有相同的惯性矩。其数值均为：

Iy Iz I

d

4

64

类似的，对于圆环形状的横截面，具有类似的结果为：

Iy Iz I

D

4

64

1 4

d D14

当坐标轴原点位于矩形横截面的中心，则其惯性矩分别为：

I y z dA2 A

dA hdzhb Iy z hdz b 2 12

b2

2

3

bh Iz 12

3

7.2.3 惯性矩与惯性积的移轴定理y

y1

z1 z

IydA y

b

Izzy1 z1

o a O’

I yz

?

I y1 I z1 I yz1

I I b A2 y1 y

I y1、I z1总是增加的。 I yz1的增加与否，与a,b的正负号有关。

I I a A2 z1 z

I I abAyz 1 yz

移轴定理要求坐标轴通过横截 面的形心。16

I z dA z b dA z 2 zb b dA2 2 2 2 y1 1

z dA 2b zdA b dA2 2

I b A 2b zdA2 y

I b A 2bS2 y

y

7.2.4 惯性矩与惯性积的转轴定理y1 y

z1 z y dA

Iy Iz I yz

o

z

?

I y1 I z1 I yz1

I y1 I z1

Iy Iz 2 Iy Iz 2 2

Iy Iz 2 Iy Iz 2

cos 2 I yz sin 2 cos 2 I yz sin 2

转轴定理不要求 坐标轴通过横截 面的形心。

I y1 z 1

Iy Iz

sin 2 I yz cos 2 18

7.2.5 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心惯性矩I y1 z 1 Iy Iz sin 2 I yz cos 2 0

2 就可以得到某个 = o,相应的坐标轴yo和zo

如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零， 则称这一对坐标轴为过这一点的主轴(principal axis)。 图 形 对 于 主 轴 的 惯 性 矩 称 为 主 惯 性 矩 (principal moment of inertia of an area)。主惯性矩具有极大 值或极小值的特征。 主惯性矩为： I yo I max I y I z 1 2 2 I zo I min

I

2 I 4 I y z xy 2