2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题31 点直线与圆(2)

∴AG?CH=CD?AE，

∴AG?CH=CD?AE=（2﹣）?=．

点评：

本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，画出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

5. （2015?甘南州第10题10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E．

（1）当AC=2时，求⊙O的半径；

（2）设AC=x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式．

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考点： 切线的性质；三角形的面积．

专题： 压轴题．

分析： （1）连接OD ，OE ，由△ABC 是直角三角形，以O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，可知OD ∥BC ，在△ADO 中，解得半径．

（2）由题意可知，OD ∥BC ，∠AOD=∠B ，则两角正切值相等，进而列出关系式． 解答： 解：（1）连接OE ，OD ，

在△ABC 中，∠C=90°，AC+BC=8，

∵AC=2，

∴BC=6；

∵以O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，

∴四边形OECD 是正方形，

tan ∠B=tan ∠AOD=

==，解得OD=，

∴圆的半径为；

（2）∵AC=x ，BC=8﹣x ，

在直角三角形ABC 中，tanB==， ∵以O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，

∴四边形OECD 是正方形．

tan ∠AOD=tanB==

=，

解得y=﹣x 2+x ．

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点评： 本题主要考查切线的性质和解三角形的相关知识点，不是很难．

6. （2015，广西柳州，25，10分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，AD 与△ABC 的外接圆⊙O 恰好相切于点A ，边CD 与⊙O 相交于点E ，连接AE ，BE ．

（1）求证：AB=AC ；

（2）若过点A 作AH ⊥BE 于H ，求证：BH=CE+EH ．

考点： 切线的性质；平行四边形的性质．

分析： （1）根据弦切角定理和圆周角定理证明∠ABC=∠ACB ，得到答案；

（2）作AF ⊥CD 于F ，证明△AEH ≌△AEF ，得到EH=EF ，根据△ABH ≌△ACF ，得到答案．

解答： 证明：（1）∵AD 与△ABC 的外接圆⊙O 恰好相切于点A ，

∴∠ABE=∠DAE ，又∠EAC=∠EBC ，

∴∠DAC=∠ABC ，

∵AD ∥BC ，

∴∠DAC=∠ACB ，

∴∠ABC=∠ACB ，

∴AB=AC ；

（2）作AF ⊥CD 于F ，

∵四边形ABCE 是圆内接四边形，

∴∠ABC=∠AEF ，又∠ABC=∠ACB ，

∴∠AEF=∠ACB ，又∠AEB=∠ACB ，

∴∠AEH=∠AEF ，

在△AEH 和△AEF 中，

，

∴△AEH ≌△AEF ，

∴EH=EF ，

∴CE+EH=CF ，

在△ABH 和△ACF 中，

14 ，

∴△ABH ≌△ACF ，

∴BH=C F=CE+EH ．

点评：本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用．

7. （2015，福建南平，22，分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，CD 与半圆O 相切于点D ，连接AD ，BD ．

（1）求证：∠BAD=∠BDC ；

（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O 的半径．（精确到0.01）

考点： 切线的性质；解直角三角形．

分析： （1）连接OD ，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可；

（2）根据三角函数进行计算即可．

解答： 证明：（1）连接OD ，如图，

∵CD 与半圆O 相切于点D ，

∴OD ⊥CD ，

∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，

∵AB 是半圆O 的直径，

∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，

∴∠CDB=∠ODA ，

∵OD=OA ，

∴∠ODA=∠BAD ，

∴∠BAD=∠BDC ；

（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt △ABD 中，sin ∠BAD=，

∴AB=，

∴⊙O 的半径为．

点评：此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行分析．

8.（2015，广西钦州，25，8分）如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=1

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，AD=3，求直径AB的长．

考点：切线的判定．

分析：（1）由AB为⊙O的直径，可得∠D=90°，继而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，则可证得BC是⊙O的切线；

（2）根据点O是AB的中点，点E时BD的中点可知OE是△ABD的中位线，故AD∥OE，则∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，

由此可得出结论．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠D=90°，

∴∠ABD+∠A=90°，

∵∠DBC=∠A，

∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）∵点O是AB的中点，点E时BD的中点，

∴OE是△ABD的中位线，

∴AD∥OE，

∴∠A=∠BOC．、

∵由（1）∠D=∠OBC=90°，

∴∠C=∠ABD，

∵tanC=，

∴tan∠ABD==

=，解得BD=6，

∴AB=

==3．

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点评：本题考查的是切线的判定，熟知经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解答此题的关键．

9.（2015，广西玉林，23，9分）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E 为的中点，连接DE，EB．

（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；

（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．

考点：切线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算．

分析：（1）由∠BOD=60°E 为的中点，得到，于是得到DE∥BC，根据

CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；

（2）连接OE，由（1）知，，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式列方程

即可得到结论．

解答：解：（1）∵∠BOD=60°，

∴∠AOD=120°，

∴

=，

∵E 为的中点，

∴，

∴DE∥AB，OD⊥BE，

即DE∥BC，

∵CD是⊙O的切线，

∴OD⊥CD，

∴BE∥CD，

∴四边形BCDE是平行四边形；

（2）连接OE，由（1）知，，

∴∠BOE=120°，

∵阴影部分面积为6π，

∴=6π，

∴r=6．

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点评：

本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明

是解题的关键．

10. （2015，广西河池，21，10分）如图,AB 为⊙O 的直径,CO ⊥AB 与O,D 在⊙O 上，连接BD,CD,延长CD 与AB 的延长线交于E,F 在BE 上,且FD=FE.

(1)求证:FD 是⊙O 的切线;

(2)若AF=8,tan ∠

BDF=,求EF 的长.

(1)证明:连接OD,

∵CO ⊥AB,

∴∠E+∠C=90°,

∵∠DFO 为△EFD 的外角,且FD=FE,∠ODC 为△EOD 的外角,且OD=OC,

∴∠DFO=∠E+∠EDF=2∠E,∠DOF+∠E=∠ODC=∠C,

得∠DOF+∠E+∠DFO=∠C+2∠E,

即∠DOF+∠DFO=∠C+∠E=90°,

∴FD 是⊙O 的切线.

(2)解:连接AD,如图,

∵AB 为⊙O 的直径

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