2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题31 点直线与圆

1 点直线与圆的位置关系

一、选择题

1、（2015?重庆A9，4分））如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，AE 是O 的切线，A 为切点，连接BC 并延长交AE 于点D ， 若∠AOC=80°，则∠ADB 的度

数为（ ）

A. 40°

B. 50°

C. 60°

D. 20°

考点：切线的性质．

分析：由AB 是⊙O 直径，AE 是⊙O 的切线，推出AD ⊥AB ，

∠DAC= ∠B= 21 ∠AOC=40°， 推出∠AOD=50°．

解答：解：∵AB 是⊙O 直径，AE 是⊙O 的切线，

∴∠BAD=90°，

∵∠B= 2

1∠AOC=40°， ∴∠ADB=90°﹣∠B=50°，

故选B ．

点评：本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于连接AC ，构建直角三角形，

求∠B 的度数．

2. （2015?齐齐哈尔,第6题3分）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是（ ）

A ． 8≤AB≤10

B ． 8＜AB≤10

C ． 4≤AB≤5

D ． 4＜AB≤5

考点： 直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．

分析： 此题可以首先计算出当AB 与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB 与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB≥8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8≤AB≤10．

解答： 解：当AB 与小圆相切，

∵大圆半径为5，小圆的半径为3，

∴AB=2=8．

∵大圆的弦AB 与小圆有公共点，即相切或相交，

∴8≤AB≤10．

9题图

故选：A．

点评：本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长．

3．（2015?湖南张家界，第2题3分）如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C 为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（）

A．相离B．相交

C．相切D．以上三种情况均有可能

考点：直线与圆的位置关系．

分析：利用直线l和⊙O相切?d=r，进而判断得出即可．

解答：解：过点C作CD⊥AO于点D，

∵∠O=30°，OC=6，

∴DC=3，

∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．

故选：C．

点评：此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键．

4．（4分）（2015?黔西南州）（第6题）如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（）

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A．150° B．130° C．155° D．135°

考点：切线的性质．

分析：由PA与PB为圆的两条切线，利用切线性质得到PA与OA垂直，PB与OB垂直，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出∠AOB的度数．

解答：解：∵PA、PB是⊙O的切线，

∴PA⊥OA，PB⊥OB，

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∵∠P=50°，

∴∠AOB=130°．

故选B．

点评：此题考查了切线的性质，以及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

二、填空题

1．（2015?贵州省贵阳,第15题4分）小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距

离是

．

考点：切线的性质；轨迹．

专题：应用题．

分析：根据切线的性质得到OH=PH，根据锐角三角函数求出PH的长，得到答案．

解答：解：如图，当圆心O移动到点P的位置时，光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切，切点为Q，

∵ON⊥AB，PQ⊥AB，

∴ON∥PQ，

3

∵ON=PQ，∴OH=PH，

在Rt△PHQ中，∠P=∠B=60°，PQ=1，

∴PH=，

则OP=，

故答案为：．

点评：本题考查的是直线与圆相切的知识，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．

2. （2015?甘南州第24题4分）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是8＜AB≤10．

考点：直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．

专题：计算题．

分析：解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当AB与小圆相切时有一个公共点，此时可知AB最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．

解答：

解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，

连接OA，OD，可得OD⊥AB，

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∴D为AB的中点，即AD=BD，

在Rt△ADO中，OD=3，OA=5，

∴AD=4，

∴AB=2AD=8；

当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，

此时AB=10，

所以AB的取值范围是8＜AB≤10．

故答案为：8＜AB≤10

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，以及切线的性质，其中解题的关键是抓住两个关键点：1、当弦AB与小圆相切时最短；2、当AB过圆心O时最长．

三、解答题

1. （2015?宁德第23题4分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E 在⊙O外，∠EAC=∠B．

（1）求证：直线AE是⊙O的切线；

（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧的长（结果保留π）．

考点：切线的判定；弧长的计算．

分析：（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，进而可得∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B可得∠CAE+∠BAC=90°，从而可得直线AE是⊙O的切线；

（2）连接CO，计算出AO长，再利用圆周角定理可得∠AOC的度数，然后利用弧长公式可得答案．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CBA+∠CAB=90°，

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∵∠EAC=∠B，

∴∠CAE+∠BAC=90°，

即BA⊥AE．

∴AE是⊙O的切线．

（2）连接CO，

∵AB=6，

∴AO=3，

∵∠D=60°，

∴∠AOC=120°，

∴==2π．

点评：此题主要考查了切线的判定和弧长计算，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．

2. （2015?酒泉第27题8分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．

（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：∠BAE=90°或者∠EAC=∠ABC．

（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．

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3. （2015?福建 第23题 10分）已知：AB 是⊙O 的直径，点P 在线段AB 的延长线上，BP=OB=2，点Q 在⊙O 上，连接PQ ．

（1）如图①，线段PQ 所在的直线与⊙O 相切，求线段PQ 的长；

（2）如图②，线段PQ 与⊙O 还有一个公共点C ，且

PC=CQ ，连接OQ ，AC 交于点D ． ①判断OQ 与AC 的位置关系，并说明理由；

②求线段PQ 的长．