2014中考总复习第20讲直角三角形

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第二十讲

直角三角形

课标要求 了解: 直角三角形的概念. 掌握: 探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件. 会: 体验勾股定理的探究过程, 运用勾股定理解决简单问题, 用勾股定理的逆 定理判定直角三角形.

第二部分

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高频考点 1. 直角三角形的性质与判定的应用. 2. 勾股定理及逆定理的应用. 3. 直角三角形的折叠、旋转、作图问题的研究. 考向分析 结合近几年中考试题分析, 直角三角形的内容考查主要有以下特点: 1. 命题方式为直角三角形的判定、直角三角形的性质的应用、勾股定理及 其逆定理的证明及应用, 题型以解答题为主. 2. 命题的热点为勾股定理的推广与应用.

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一、勾股定理及逆定理 1. 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 a, b, 斜边长为 c, 那么 2. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a, b, c 满足 , 那么这个三角形是直角三角形. ;

特别提示: 若 c2≠a2+ b2, 则△A B C 不是直角三角形, 分两种情况: (1)当 a2+ b2< c2 时, 此三角形为钝角三角形; (2)当 a2+ b2> c2 时, 此三角形为锐角三角形. 其中 c 为三角形的最长边.第二部分

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二、直角三角形的性质 直角三角形除勾股定理外, 还具有如下性质: 1. 直角三角形两锐角 2. 直角三角形斜边的中线等于 ; ; ;

3. 直角三角形中 30°的角所对的直角边等于

4. 如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半, 那么这条直角边所对的 锐角等于 .

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三、直角三角形的判定 除了勾股定理的逆定理外, 直角三角形还有如下判定方法: 1. 有一个角是 2. 有两个角 的三角形是直角三角形; 的三角形是直角三角形; 等于这边的一半, 则该三角形是直角三角

3. 如果三角形一边上的 形.

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四、定理与互逆定理 1. 定理: 经过证明被确认 2. 互逆定理: 如果一个定理的 个定理, 这两个定理互为逆定理. 特别提示: 所有的命题都有逆命题, 但并不是所有的定理都有逆定理, ∵只有 定理的逆命题是正确即为真命题的才为逆定理. 【答案】一、1. a2+ b2= c2 2. a2+ b2= c2 二、1. 互余 2. 斜边的一半 3. 斜边的一半 4. 30° 三、1. 直角 2. 互余 3. 中线 四、1. 正确 2. 逆命题 真命题 的命题叫做定理; 经过证明是 , 那么它也是一

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真

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知识考点 0 1 直角三角形的判定

直角三角形的判定基本上有两个途径, 其一是研究三角形的角. 其二是研究三 边的数量关系, 用勾股定理的逆定理判定; 有时还可以根据三角形一边上的中线等 于此边的一半判定和与圆的有关知识结合判定.

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例1

如图, 在△A B C 中, AB= AC , ∠B A C = 90°, 点 D 为边 B C 上的任一点, D F ⊥A B

于 F, D E ⊥A C 于 E , M 为 B C 的中点, 试判断△M E F 的形状, 并证明你的结论.

【思路点拨】 先判断△M E F 的边之间是否存在等量关系, 再考虑角的度数.

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【自主解答】 △M E F 是等腰直角三角形. 证明: 连接 A M , ∵∠B A C = 90°, A M 是斜边 B C 的中线, ∴M A = M B = M C , M A ⊥B C . ∵A B = A C , ∴∠B = ∠B A M = ∠M A E = 45°. ∵D F ⊥A B , D E ⊥A C , ∴∠A F D = ∠A E D = ∠F A E = 90°. ∴四边形 D F A E 是矩形. ∴F D = E A . 又∵F B = F D ,第二部分

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∴F B = E A . ∴△B F M ≌△A E M (SA S) . ∴F M = E M , ∠B M F = ∠ A M E . ∵∠A M F + ∠B M F = 90°, ∴∠E M F = ∠A M F + ∠A M E = 90°. ∴△M E F 是等腰直角三角形.

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1. (2010·湛江中考)下列四组线段中, 可以构成直角三角形的是( A . 1, 2, 3 B . 2, 3, 4 C . 3, 4, 5 D . 4, 5, 6

)

【解析】 选 C . ∵32+ 42= 25, 52= 25, ∴32+ 42= 52. ∴3, 4, 5 能构成直角三角形. 2. (2012·漳州中考)将一副直角三角板, 按如图所示叠放在一起, 则图中∠α的度 数是( A. 45° C. 75° 【答案】 C ) B. 60° D. 90°

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知识考点 02 直角三角形的性质 直角三角的形性质是指边、角之间的关系, 特别是一些特殊角对边与斜边之间的数 量关系.

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复习目标例2

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如图, 在三角形纸片 A B C 中, ∠A C B = 90°, B C = 3, A B = 6, 在 A C 上取一点 E ,

以 B E 为折痕, 使 A B 的一部分与 B C 重合, A 与 B C 延长线上的点 D 重合, 求 C E 的长 度. 【思路点拨】 抓住 A B = B D , C E+ ED = AC , ∠B C E = 90°, 这些折叠中不变的量是关键. 【自主解答】 由已知可得∠A = 30°, 按如图所示的方式折叠时△A B E ≌△D B E , ∴∠D = 30°. ∴C E = 2 D E = 2 A E . ∴C E = 2 A C . 在 R t △A B C 中, AC = ∴C E =AB 2 BC 2 =1 1 1

62 32 = 3 3 ,

3.第二部分

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3. 如图所示, A 、B 、C 分别表示三个村庄, A B = 1 000 米, B C = 600 米, A C = 800 米, 为了丰富群

众生活, 拟建一个文化活动中心, 要求这三个村庄到活动中心的距离相 等, 则活动中心 P 的位置应在( A . A B 中点 B . B C 中点 C . A C 中点 D . ∠C 的平分线与 A B 的交点 【解析】 选 A . ∵A B = 1 000 米, B C = 600 米, A C = 800 米, ∴A B 2= B C 2+ A C 2, ∴三 角形 A B C 为直角三角形, ∴其斜边上的中线等于斜边的一半; 故选 A . )

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4. (2010·福建南平)如图, 已知△A B C 为直角三角形, ∠C = 90°, 若沿图中虚线剪去 △C D E , 则∠1+ ∠2 等于( )

A . 315°

B . 270°

C . 135°

D . 90°

【解析】 选 B . 因四边形 A B D E 的内角和为 360°, ∠A + ∠B = 90°, ∴∠1+ ∠2= 270°.

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5. 一个直角三角形斜边上的中线为 5, 两直角边的差为 2, 则这个直角三角形的面积 为 【答案】 …… 此处隐藏：2952字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……