高一数学专题讲座抽象函数(2)

∴函数f(x)是R上的单调增函数.

(3) 由（1）（2）知，f(b) f(0) 1，∴f(b) 1

1

31313

p

13

p2

<0

ac

ac

∵f(a) f(b ) f(b) b,f(c) b f(b) b

b b

a

b

cb

∴f(a) f(c) f(b)

f(b)

∴

，而a c 2b

2f(b)

∴f(a) f(c) 2f(b)

12.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x＞0时f(x)＜0恒成立.

(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在[-3，3）上总有f(x)≤6成立，试确定f(1)应满足的条件；

11

(3)解关于x的不等式f(ax2) f(x) f(a2x) f(a),(n是一个给定的自然数,a 0)

nn

解:（1）由已知对于任意x∈R，y∈R，f（x+y）=f（x）+ f（y）恒成立 令x=y=0，得f（0+0）= f（0）+ f（0），∴f（0）=0

令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0∴对于任意x，都有f(-x)= - f(x)∴f(x)是奇函数. （2）设任意x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，由已知f（x2-x1）＜0（1） 又f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f（x2）- f（x1）（2） 由（1）（2）得f(x1)＞f(x2),根据函数单调性的定义知f(x)在(-∞，+∞)上是减函数. ∴f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3).要使f(x)≤6恒成立，当且仅当f(-3)≤6，

又∵f（-3）= - f（3）= - f（2+1）=-[ f（2）+ f（1）]= -[ f（1）+ f（1）+ f（1）]= -3 f（1）， ∴f（1）≥-2.

11

（3） f（ax2）- f（x）＞ f（a2x）- f（a）

nn

f（ax2）- f（a2x）＞n[f（x）- f（a）] f（ax2-a2x）＞nf（x-a）（10分） 由已知得：f[n（x-a）]=nf（x-a） ∴f（ax2-a2x）＞f[n（x-a）]

∵f（x）在（-∞，+∞）上是减函数 ∴ax2-a2x＜n（x-a）.即（x-a）（ax-n）＜0， ∵a＜0，

n

∴（x-a）（x-）＞0，（11分）

a

n

讨论：（1）当a＜＜0，即a＜-n时，

a

n

原不等式解集为{x | x＞或x＜a}；

a

n

（2）当a=＜0即a=-n时，原不等式的解集为φ；

a

nn

（3）当＜a＜0时，即-n＜a＜0时， 原不等式的解集为{x | x＞a或x＜}

aa