三自由度Delta并联机器人运动学分析及工作空间求解

第39卷 第1期2008年1月

太原理工大学学报

JOURNALOFTAIYUANUNIVERSITYOFTECHNOLOGY

Vol.39No.1 Jan.2008

文章编号:1007-9432(2008)01-0093-04

三自由度Delta并联机器人运动学分析

及工作空间求解

梁香宁,牛志刚

(太原理工大学机械工程学院,太原030024)

摘 要:通过对三自由度Delta机器人机构的分析,建立了运动学模型。基于动平台与固定平台之间的矢量关系,推导出该机器人的运动学方程,进一步得到位置反解的计算公式;同时给出了正解的数值解法,并结合算例验证了推导的正确性。利用运动学反解方程,提出了一种工作空间的求法。

关键词:Delta机器人;运动学;正解;反解;工作空间中图分类号:TP242 文献标识码:A

Delta机器人是一种具有3个平动自由度的高速并联机器人,也是目前商业应用最成功的并联机器人之一。它最早是Clavel博士在1985年提出的,由于其基座平台和运动平台都是呈三角形状而得名。并联机器人具有承载能力大、精度高、运动反解简单、误差小、自重负荷比小、动力性能好、控制容易等一系列优点。并联机器人位置逆解比较容易,而正解非常复杂,因此,正解问题一直是并联机器人运动学研究的难点之一。目前,正解的主要求法有数值法和解析法。解析法的推导过程十分复杂,所以笔者在运动学反解的基础上,利用最小二乘法求出了该机构的数值解。工作空间分析是并联机构运动学设计中的重要内容,传统的方法通过影响并联机器人工作空间的三个因素来确定,笔者在运动学模型的基础上提出了一种工作空间的求法,整个推导过程简单、直观。

作一定角度的反复摆动。这三条运动链决定了运动平台的运动特性。运动平台不能绕任何轴线旋转,

但可以在直角坐标空间沿x,y,z三个方向平移运动,即具有三个自由度。分析该机构,容易知道该机构具有局部冗余自由度,即球铰之间的连杆可以绕自身轴转动,计算自由度时将四个球铰中的两个按虎克铰考虑,以便消除局部自由度的影响。

图1 Delta机器人机构图

由计算空间机构自由度Kutzbach-Grubler公式可知

F=6(n-g-1)+

i=1

1 机构简介

Delta机器人由静平台(上平台)、动平台(下平台)、3根主动杆、3个平行四边形从动支链组成(结构如图1所示)。基座平台的三边通过三条相同的运动链分别连接到运动平台的三条边上。每条运动链中有一个由四个球铰与杆件组成的平行四边形闭环,此闭环再与一个带转动关节的驱动臂相串联,驱动臂的一端固定在静平台上,在电动机的驱动下

Ef

g

i

.

式中:n为机构杆件数;g为运动副个数;有运动副自由度数之和。得出

i=1

Ef

g

i

为所

F=6(17-21-1)+3@6+1@15=3.

2 位置反解求法

求解位置反解即给定运动平台的中心点在基座坐标系中的坐标,求解基座平台的三个控制电机的

*收稿日期:2007-01-08

:,,

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旋转角度,也就是三个驱动臂对基座平台的张角。运动学逆问题的求解是机器人控制的关键,因为只有使各关节变量按反解中求得的值运动,才能使末端操作器达到所要求的位姿。

如图2所示,固定平台是为以O为中心,动平台为以Oc为中心。三根主动杆为图中的BiEi,长度均为Lb;从动杆为图中EiPi,长度均为La.首先,为了计算方便,建立运动模型图如图2所示。由图可以看出,在固定平台上建立坐标系O-XYZ,动平台上建立坐标系Oc-XcYcZc,H1,H2,H3为电机驱动臂对

基座平台的张角。

2

rcosGi+x

Pio=

rsinGi+y. z

因此,根据|PiEi|=La,可以推导出下列等式:

[(R+LbsinHi-r)cosGi-x]+

2

[R+LbsinHi-r)sinGi-y]+

22

(-LbcosHi-z)=La,

2

(1)(2)

为运动学逆解公式。上式整理并化简,得Aiti+Biti+Ci=0 (i=1,2,3).

式中: ti=tan(Hi) (i=1,2,3);

2的一元二次方程。

ti=

iiii

(i=1,2,3).

2Ai

Ai,Bi,Ci均为已知量。所以,等式(2)即为关于ti

因此,当给定机器人运动平台的位置根据下式直接可求出电机的输入,即驱动臂的张角

i=2arctan(ti).H

由上式可以看出,当给定动平台位置时,运动反

解个数共有8个。

图2 结构示意图

设,|OBi|=R,|OPi|=r,则点Bi在坐标系O-XYZ中的位置矢量为:

RcosGi

bio=

RsinGi. 0

其中,Gi=P (i=1,2,3).

6

也可以得到点Pi在坐标系Oc-XcYcZc中的位置矢量为:

rcosGi

Pioc=

rsinGi. 0

其中,Gi=P (i=1,2,3).

6

根据几何学关系,则Ei点在O-XYZ坐标系中的位置矢量可以表达为:

(R+LbsinHi)cosGi

ei=

i)sinGi.(R+LbsinH

3 位置正解求法

运动学正解问题是给定三个驱动臂相对于基座平台的张角,求解运动平台中心点在基坐标系中的坐标。公式(1)可以写成一个含有三个未知数、三个

非线性方程的方程组。笔者采用数值解法从式中解出三个未知量x、y、z,采用最小二乘法进行求解。计算结果如表1、表2所示。

表1 输入角度数据

组别12345

6

H1/rad012793016190017156017156017948114312

H2/rad014172013491011920013491015472

013491

H3/rad11483601925011309018203015198

114486

表2 动平台位姿输出数据

组别123456

X/mm-13010787

16714329127921516124138443518759

Y/mm-55010469-27519-45513548-515-27311027-2571415

Z/mm-89410402-114914-82510055-125213-90413341-63718257

-LbcosHi

假设,矢量c在O-XYZ坐标系中Co=[xyz]T,则矢量i在O-XYZ坐标系中可以表示为:

4 实例分析

210,r=

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50mm,La=880mm,Lh=620mm.

1)位置反解。已知运动平台的空间位置(x,y,z)=(100,100,-100)T,求驱动臂相对于基座平台的张角Hi。根据运动学反解的求解公式可以求出:H1=013283P,-013432P;H2=012162P,-013847P;H3=012387P,-014007P.

上面的8组反解分别为:

a1(H13283P,012612P,012387P);1,H2,H3)=(0b1(H1,H13432P,012612P,012387P);2,H3)=(-0c1(H13432P,013874P,012387P);1,H2,H3)=(-0d1(H1,H13283P,-013874P,012387P);2,H3)=(0e1(H13283P,-013874P,-014007P);1,H2,H3)=(0f1(H13283P,012612P,-014007P);1,H2,H3)=(0g1(H13432P,012612P,-014007P);1,H2,H3)=(-0h1(H1,H2,H3)=(-013432P,013874P,-014007P).

i22

[1]k2i-(mi+ni)[0.+ni

i

即为

Qi(x,y,z)=

[La-Lb-x-y-z-$r+

i+ysinGi)]-2$r(xcosG

2

[(2Lb$r-2LbxcosGi-2LbysinGi)+224L2bz]=[(xcosGi+ysinGi-$r)+22(xsinGi-ycosGi)2+z2+L2b-La]-224L2b[(xcosGi+ysinGi-$r)+z][0.(3)

2

2

2

2

2

2

2

不等式(3)即表示一个空间范围,该空间边界为Qi(x,y,z)=0,i=1,2,3。以上的等式都是建立在固定坐标系R(X,Y,Z)中,在此定义一个新的旋转坐标系T(xi,yi,zi),其中

xi=XcosGi+YsinGi,yi=-XsinGi+YcosGi,zi=Z.

Gi为旋转角度。所以,动平台中心点Oc在旋转坐标系T中的位置矢量为:

xiOc=xcosGi+ysinGi,

yOc=-xsi …… 此处隐藏：3548字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……